chứng minh (1+2+3+4+...+n)^2=1^3+2^3+3^3+....+n^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
13 tháng 11 2023
1.A = 21 + 22 + 23 + 24 + ... + 259 + 260
Xét .dãy số: 1; 2; 3; 4; .... 59; 60 Dãy số này có 60 số hạng vậy A có 60 hạng tử.
vì 60 : 2 = 30 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào một nhóm thì ta được:
A = (21 + 22) + (23 + 24) +...+ (259 + 260)
A = 2.(1 + 2) + 23.(1 +2) +...+ 259.(1 +2)
A =2.3 + 23.3 + ... + 259.3
A =3.( 2 + 23+...+ 259)
Vì 3 ⋮ 3 nên A = 3.(2 + 23 + ... + 259)⋮3 (đpcm)
VN
1
20 tháng 2 2019
Ta cần chứng minh:\(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Với \(n=1\Rightarrow1=1\)(đúng)
Giả sử bài toán đúng với \(n=k\left(n\inℕ^∗\right)\) thì ta có:
\(1+2^3+3^3+...+k^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\left(1\right)\)
Ta cần chứng minh đề bài đúng với \(n=k+1\) tức là:
\(1^3+2^3+3^3+....+n^3=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\left(2\right)\)
Đặt \(A_{k+1}=1^3+2^3+...+\left(k+1\right)^3\)
\(=\left(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\right)^2+\left(k+1\right)^3\) [theo (1)]
\(=\left[\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\right]^2\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng.
Mà \(\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{n^2\cdot\left(n+1\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2\cdot\left(n+1\right)^2}{4}\left(đpcm\right)\)
LH
1
KT
1 tháng 12 2018
\(N=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2018}}\)
=> \(3N=1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{2017}}\)
=> \(3N-N=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{2017}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2018}}\right)\)
<=> \(2N=1-\frac{1}{3^{2018}}< 1\)
<=> \(N< \frac{1}{2}\)
=> dpcm
TT
0
LV
0
Đặt `S = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3`
`= 1^2 . 1 + 2^2 . 2 + 3^2 . 3 + ... + n^2 . n`
`= 1 . (2 - 1) + 2^2 . (3 - 1) + 3^2 . (4 - 1) + ... + n^2 . (n + 1 - 1) `
`= 1 . 2 - 1 + 2^2 . 3 - 2^2 + 3^2 . 4 - 3^2 + ... + n^2 . (n+1) - n^2`
`= [1. 2 + 2^2 . 3 + 3^2 . 4 + ... + n^2 (n+1)] - (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)`
Đặt `A = 1. 2 + 2^2 . 3 + 3^2 . 4 + ... + n^2 (n+1)`
`A = 1.2 + (1+1).2 . 3 + (2 + 1) . 3 . 4 + ... + (n - 1 + 1) . n . (n+1) `
`= 1 . 2 + 1.2.3 + 2.3 + 2.3.4 + 3.4 + ... + (n-1) . n . (n+1) + n(n+1) `
`= [1 . 2 + 2.3 + 3.4 + ... + n . (n+1)] + [(1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n-1) . n . (n+1)]`
Đặt `A_1 = 1 . 2 + 2.3 + 3.4 + ... + n . (n+1)`
`3A_1 = 1.2.3 + 2.3. (4-1) + 3.4.(5-2) + ... + n(n+1).[(n+2) - (n-1)]`
`3A_1 = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1)`
`3A_1 = n(n+1)(n+2)`
`A_1 = (n(n+1)(n+2))/3`
Đặt `A_2 = 1.2.3 + 2.3.4 + ... + (n-1) . n . (n+1)`
`4A_2 = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5-1) + ... + (n-1)n(n+1)[(n+2)-(n-2)]`
`4A_2 = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + (n-1).n.(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n.(n+1)`
`4A_2 = (n-1).n.(n+1)(n+2)`
`A_2 = ( (n-1).n.(n+1)(n+2))/4`
Khi đó `A = A_1 + A_2 = (n(n+1)(n+2))/3 + ((n-1).n.(n+1)(n+2))/4`
Đặt `B = 1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2`
`= 1 . (2-1) + 2. (3-1) + 3.(4-1) + ... + n.(n+1 - 1) `
`= [1 . 2 + 2.3 + 3.4 +... + n(n+1)] - (1+2+3+...+n)`
`= (n(n+1)(n+2))/3 - (n(n+1))/2`
`= n(n+1). ((n+2)/3 - 1/2)`
`= (n(n+1)(2n+1))/6`
Khi đó `S = A - B`
`= (n(n+1)(n+2))/3 + ((n-1).n.(n+1)(n+2))/4 - (n(n+1)(2n+1))/6`
`= n(n+1) [(n+2)/3 + ((n-1)(n+2))/4 - (2n + 1)/6]`
`= n(n+1) [(n+2)/3 + (n^2 + n - 2)/4 - (2n + 1)/6]`
`= n(n+1) [(4n+8)/12 + (3n^2 + 3n - 6)/12 - (4n + 2)/12]`
`= n(n+1) (4n+8 +3n^2 + 3n - 6 - 4n - 2)/12`
`= n(n+1) (3n^2 + 3n)/12`
`= n(n+1) (n^2 + n)/4`
`= n(n+1) (n(n+1))/4`
`= ((n.(n+1))/2)^2`
Mà `1 + 2 + 3+ ....+ n = (n.(n+1))/2 `
Nên `S = (1 + 2 + 3+ ....+ n)^2 (đpcm)`
Nếu bạn cảm thấy không hiểu thì bạn vào link sau để các kí tự phân số hiện rõ cho bạn dễ nhìn nhé. Mình làm dài và khá đầy đủ rồi.
https://hoc24.vn/cau-hoi/9349228022166