Cho tam giác ABC (AB < CA) có các góc B,C nhọn. Gọi AH và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến của tam giác ABC (H và M thuộc cạnh BC). Biết rằng BA^H = CA^M. Chứng minh BA^C = 90 độ. Mng giúp mình với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 9 2021
\(\widehat{BKC}=\widehat{BHC}\left(=90^0\right)\) nên HKBC nội tiếp đường tròn
CM
11 tháng 8 2018
a) Xét ΔANH và ΔAHC có:
∠(NAH) chung
∠(ANH) = ∠(AHN) = 90o
⇒ ΔANH ∼ ΔAHC (g.g)
b) Ta có :
Tương tự : CH = 5 (cm)
⇒ BC = BH + CH = 9 + 5 = 14 (cm)
c) Theo chứng minh trên ta có:
Chứng minh tương tự ta có :
ΔAMH ∼ ΔAHB ⇒ AH2 = AM.AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ AN.AC = AM.AB (3)
Xét ΔAMN và ΔACB có :
∠A chung
AN.AC = AM.AB
⇒ ΔAMN ∼ ΔACB (c.g.c)
d) Ta có : ΔAMH ∼ ΔAHB
Lại có ΔAMN ∼ ΔACB (cmt)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
9 tháng 2 2018
+ ) Ta thấy ngay hai tam giác vuông AHC và ANC có chung cạnh huyền AC nên A, H, N, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
\(\Rightarrow\widehat{HNA}=\widehat{HCA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH)
Ta thấy ngay hai tam giác vuông AMB và AHB có chung cạnh huyền AB nên A, M, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
\(\Rightarrow\widehat{HMN}=\widehat{ABH}\) (Góc ngoài tại đỉnh đối diện bằng góc trong tại đỉnh)
Vậy nên \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\left(g-g\right)\)
+) Ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Mà \(\Delta ABC\sim\Delta HMN\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{HMN}\)
nên \(\widehat{ADC}=\widehat{HMN}\)
Chúng lại ở vị trí so le trong nên DC // HM
Ta có \(DC\perp AC\Rightarrow HM\perp AC\)
Gọi J là trung điểm AB
Ta có ngay IJ là đường trung bình tam giác ABC nên IJ // AC
Vậy nên \(HM\perp IJ\)
Mà J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMHB nên IJ vuông góc cung HM tại trung điểm HM hay IJ là trung trực của HM.
Vậy thì IM = IH.
Tương tự ta có IM = IH = IN hay I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN.
KT
21 tháng 12 2017
a) \(\Delta ABC\) có MA = MB; NA = NC
\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\)MN // BC
\(\Rightarrow\)Tứ giác BMNC là hình thang
b) \(\Delta ABC\)có NA = NC; QB = QC
\(\Rightarrow\)NQ // AB; NQ = 1/2 AB
mà MA = 1/2 AB
\(\Rightarrow\)NQ = MA
Tứ giác AMQN có NQ // AM; NQ = AM
\(\Rightarrow\)AMQN là hình bình hành
Trên tia AH lấy E sao cho HA=HE
=>H là trung điểm của AE
Trên tia AM lấy K sao cho AM=MK
=>M là trung điểm của AK
Xét ΔAKE có
H,M lần lượt là trung điểm của AE,AK
=>HM là đường trung bình của ΔAKE
=>KE//HM
=>KE//BC
=>KE\(\perp\)AE tại E
Xét tứ giác ABKC có
M là trung điểm chung của AK và BC
=>ABKC là hình bình hành
=>KB//AC
=>\(\widehat{BKA}=\widehat{CAK}\)
Xét ΔBAE có
BH là đường cao
BH là đường trung tuyến
Do đó; ΔBAE cân tại B
=>BA=BE và \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)
Ta có: \(\widehat{BAE}=\widehat{BEA}\)
\(\widehat{BKA}=\widehat{CAM}\)
mà \(\widehat{CAM}=\widehat{BAE}\)
nên \(\widehat{BEA}=\widehat{BKA}\)
=>BEKA là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{KEA}=\widehat{KBA}=90^0\)
Hình chữ nhật ABKC có \(\widehat{KBA}=90^0\)
nên ABKC là hình chữ nhật
=>\(\widehat{BAC}=90^0\)