Question

[Sơn Nguyễn]

cho hình chữ nhật ABCD.Kẻ BE vuông góc  với AC, I là trung điểm AE

                                                                                  M là trung điểm CD

                                                                                  H là trung điểm BE

a) Chứng minh HC//MI

b) Chứng minh MI vuông góc với IB

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

a) Do M là trung điểm của CD (gt)

⇒ CM = DM = CD/2

Do I là trung điểm AE (gt)

H là trung điểm BE (gt)

⇒ HI là đường trung bình của ∆ABE

HI // AB và HI = AB/2 (2)

Do ABCD là hình chữ nhật (gt)

⇒ AB = CD (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ HI = CM

Do ABCD là hình chữ nhật (gt)

⇒ AB // CD (4)

Từ (2) và (4) ⇒ HI // CD

⇒ HI // CM

Tứ giác CMIH có:

HI // CM (cmt)

HI = CM (cmt)

⇒ CMIH là hình bình hành

⇒ HC // MI

b) Do HC // MI (cmt)

⇒ ∠MIC = ∠ICH (so le trong)

Do HI // MC (cmt)

⇒ ∠HIC = ∠ICM (so le trong)

Do I và H lần lượt là trung điểm của AE và BE (gt)

⇒ AE/BE = AI/BH

Xét hai tam giác vuông: ∆AEB và ∆BEC có:

∠BAE = ∠CBE (cùng phụ ACB)

⇒ ∆AEB ∆BEC (g-g)

⇒ AE/BE = AB/BC

Mà AE/BE = AI/BH (cmt)

⇒ AI/BH = AB/AC

Xét ∆AIB và ∆BHC có:

AI/BH = AB/BC (cmt)

∠BAI = ∠CBH (cùng phụ ACB)

⇒ ∆AIB ∆BHC (g-g)

⇒ ∠ABI = ∠BCH

Do HI // AB (cmt)

⇒ ∠ABI = ∠BIH (so le trong)

⇒ ∠BIH = ∠BCH

Ta có:

∠BIM = ∠BIH + ∠HIC + ∠MIC

= ∠BCH + ∠ICM + ∠ICH

= ∠BCD = 90⁰

Vậy MI ⊥ IB

Answer 2

[Nguyễn Hữu An]

Gọi N là trung điểm của BE

=> MN là đường trung ình của tam giác ABE

=>MN//AB, MN=1/2 AB

Mà AB=CD và AB//CD

=>MN//CD, MN = 1/2 CD

=> MNCK là hình bình hành

=> NC//MK (1)

Ta có: MN //AB

AB vuông góc với BC

=> MN vuông góc với BC tại E (E thuộc BC)

Tam giác BCM có BE và ME là đường cao và chúng cắt nhau tại N

=> CN vuông góc với BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BM vuông góc với MK (đpcm)