Cho \(\Delta ABC\)đều,đường cao AH.Lấy M nằm giữa B,C.Kẻ \(MP⊥AB\)tại P ; \(MQ⊥AC\)tại Q.Gọi O là trung điểm AM.Chứng minh OHPQ là hình thoi.Tìm vị trí của M trên BC để PQ ngắn nhất
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 10 2017
Xét tam ABH có góc H = 90 độ(gt)
Theo định lí Pitago ta có:
\(BH^2=AB^2-AH^2\)
\(\Rightarrow BH^2=30^2-24^2=900-576=324\)
\(\Rightarrow BH=\sqrt{324}=18\left(cm\right)\)
Xét tam AHM có góc H = 90 độ(gt)
Theo định lí Pitago ta có
\(HM^2=AM^2-AH^2=25^2-24^2=625-576=49\)
\(HM=\sqrt{49}=7\left(cm\right)\)
Xét tam ABC có
BM=BH+HM=18+7=25(cm)
BM = MC(t/c đường trung tuyến)
=>BC=BM+MC=2BM=2*25=50(cm)
13 tháng 10 2017
Xét tam AHC có
HC=HM+MC=7+25=32(cm)
theo định lí Pitago, ta có:
\(AC^2=AH^2+HC^2=24^2+32^2=1600\)
\(\Rightarrow AC=\sqrt{1600}=40\left(cm\right)\)
Xét tam ABC có
\(BC^2=50^2=2500\)(1)
\(AB^2+AC^2=30^2+40^2=900+1600=2500\left(2\right)\)Theo định lí Pitago đảo kết hợp (1)(2)
=>Tam ABC vuông tại A(dpcm)
A B C H M Q P O K
Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.
=> OA = OP = OM.
Tương tự cho tam giác AHM vuông tại h và tam giác AQM vuông tại Q ta có:
OA = OP = OH = OM = OQ (1)
=> Tam giác AOP và tam giác AOH cân tại O.
Xét tam giác ABC đều ta có:
AH là đường cao cũng là đường phân giác
=> góc BAH = 1/2 góc BAC = 30 độ.
Ta có:
góc POM = 2 góc PAO ( góc ngoài của tam giác AOP cân tại O)
góc HOM = 2 góc HAO ( góc ngoài của tam giác AOH cân tại O)
=> góc POM - góc HOM = 2( góc PAO - góc HAO)
=> góc POH = 2 góc PAH
Mà góc PAH = 30 độ ( cmt)
Nên góc POH = 60 độ
Mặt khác OH = OP ( cmt)
=> tam giác POH đều.
=> PH = OP (2)
Tương tự ta có tam giác QOH đều
=> QH = OQ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra OP = OQ = PH = HQ
=> Tứ giác OPHQ là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)
Gọi K là giao điểm của OH và PQ.
Do tứ giác OPHQ là hình thoi và K là giao điểm 2 đường chéo OH và PQ
Nên K là trung điểm của OH và PQ và OH vuông góc với PQ tại K.
=> OK = 1/2 OH = 1/4 AM.
Xét tam giác OKP vuông tại K theo định lý Pitago thuận ta có:
PK2 = OP2 - OK2 = 1/4 AM2 - 1/16 AM2 = 3/16 AM2
=> PK = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AM\)
=> PQ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}AM\)
=> PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất.
Mà AM nhỏ nhất khi AM = AH
=> M trùng với H thì PQ nhỏ nhất.
Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung t
Xét tam giác APM vuông tại P ta có PO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AM.
=> OA = OP = OM.
Tương tự cho tam giác AHM vuông tại h và tam giác AQM vuông tại Q ta có:
OA = OP = OH = OM = OQ (1)
=> Tam giác AOP và tam giác AOH cân tại O.
Xét tam giác ABC đều ta có:
AH là đường cao cũng là đường phân giác
=> góc BAH = 1/2 góc BAC = 30 độ.
Ta có:
góc POM = 2 góc PAO ( góc ngoài của tam giác AOP cân tại O)
góc HOM = 2 góc HAO ( góc ngoài của tam giác AOH cân tại O)
=> góc POM - góc HOM = 2( góc PAO - góc HAO)
=> góc POH = 2 góc PAH
Mà góc PAH = 30 độ ( cmt)
Nên góc POH = 60 độ
Mặt khác OH = OP ( cmt)
=> tam giác POH đều.
=> PH = OP (2)
Tương tự ta có tam giác QOH đều
=> QH = OQ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra OP = OQ = PH = HQ
=> Tứ giác OPHQ là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau)
Gọi K là giao điểm của OH và PQ.
Do tứ giác OPHQ là hình thoi và K là giao điểm 2 đường chéo OH và PQ
Nên K là trung điểm của OH và PQ và OH vuông góc với PQ tại K.
=> OK = 1/2 OH = 1/4 AM.
Xét tam giác OKP vuông tại K theo định lý Pitago thuận ta có:
PK2 = OP2 - OK2 = 1/4 AM2 - 1/16 AM2 = 3/16 AM2
=> PK = \(\frac{\sqrt{3}}{4}AM\)
=> PQ = \(\frac{\sqrt{3}}{2}AM\)
=> PQ nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất.
Mà AM nhỏ nhất khi AM = AH
=> M trùng với H thì PQ nhỏ nhất.