Cho \(a^2+b^2+c^2=\frac{b^2-c^2}{a^2+3}+\frac{c^2-a^2}{b^2+4}+\frac{a^2-b^2}{c^2+5}\)
Tính S = 2017 + bc + 20c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
24 tháng 3 2017
Ta có:
\(a^2+b^2+c^2=\frac{b^2-c^2}{3+a^2}+\frac{c^2-a^2}{4+b^2}+\frac{a^2-b^2}{5+c^2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+\frac{a^2}{4+b^2}-\frac{a^2}{5+c^2}+b^2+\frac{b^2}{5+c^2}-\frac{b^2}{3+a^2}+c^2+\frac{c^2}{3+a^2}-\frac{c^2}{4+b^2}=0\)
\(\Leftrightarrow a^2.\frac{b^2c^2+4b^2+5c^2+21}{\left(4+b^2\right)\left(5+c^2\right)}+b^2.\frac{a^2c^2+6a^2+2c^2+13}{\left(3+a^2\right)\left(5+c^2\right)}+c^2.\frac{a^2b^2+3a^2+4b^2+13}{\left(3+a^2\right)\left(4+b^2\right)}=0\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=0\)
Thế vô ta có: \(S=2016ab+bc+20c=0\)
T
30 tháng 12 2019
a) \(S=\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}-\frac{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\Sigma_{cyc}\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}-\frac{\Sigma_{cyc}\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a-b\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(a^2+4ab+b^2-c^2\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow c^2+4ca+a^2-b^2\ge0\)
Ta có: \(VT=\left(a^2+4ab+b^2-c^2\right)\left(a-b\right)^2+\left(b^2+4bc+c^2-a^2\right)\left(b-c\right)^2+\left(c^2+4ca+a^2-b^2\right)\left(a-b+b-c\right)^2\)
\(=\left(2a^2+4ab+4ca\right)\left(a-b\right)^2+\left(2c^2+4ca+4bc\right)\left(b-c\right)^2+\left(c^2+4ca+a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)Ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
T
30 tháng 12 2019
b) \(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{abc}-\frac{9\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\) (phân tích cái tử của phân thức thức nhất thành nhân tử rồi nhóm lại)
\(\Leftrightarrow\left[\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b-2c\right)^2\right]\left(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc}{abc\left(a^2+b^2+c^2\right)}\right)\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
P/s: Đáng ráng phân tích tiếp cái ngoặc phía sau cho đẹp nhưng lười quá nên thôi:v (dùng Cauchy nó cũng đúng rồi nên phân tích làm gì cho mệt)
TT
29 tháng 2 2020
Ta xét hiệu :
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}-\left(\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}\right)\)
\(=a-b+b-c+c-a=0\)
Do đó : \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ac+a^2}=1006\)
Khi đó \(M=2\cdot1006=2012\)
\(a^2+b^2+c^2=\frac{b^2-c^2}{a^2+3}+\frac{c^2-a^2}{b^2+4}+\frac{a^2-b^2}{c^2+5}\)
<=>\(a^2-\frac{a^2-b^2}{c^2+5}+b^2-\frac{b^2-c^2}{a^2+3}+c^2-\frac{c^2-a^2}{b^2+4}=0\)
<=>\(\frac{ac^2+4a^2+b^2}{c^2+5}+\frac{ba^2+4b^2+c^2}{a^2+3}+\frac{ab^2+4c^2+a^2}{b^2+4}=0\)
Vì \(VT\ge0\) nên dấu "=" xảy ra khi a=b=c=0 => S = 2017 + bc + 20c=2017+0.0+20.0=2017