cho a\(^3\)+b\(^3\)=2 .c/m: a+b < 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 1
Đặt \(A=a^3+b^3+c^3-3(a-1)(b-1)(c-1)\)
Biến đổi:
\(A=a^3+b^3+c^3-3[abc-(ab+bc+ac)+a+b+c-1]=a^3+b^3+c^3-3abc+3(ab+bc+ac)-6\)
\(A=(a+b+c)^3-3[(a+b)(b+c)(c+a)+abc]-6+3(ab+bc+ac)\)
\(A=21-3(a+b+c)(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ac)=21-6(ab+bc+ac)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\(3(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^2=9\Rightarrow ab+bc+ac\leq 3\)
\(\Rightarrow A\geq 21-6.3=3\). Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Vì \(0\leq a,b,c\leq2\Rightarrow (a-2)(b-2)(c-2)\leq 0\)
\(\Leftrightarrow abc-2(ab+bc+ac)+4\leq 0\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)\geq 4+abc\geq 0\Rightarrow ab+bc+ac\geq 2\)
\(\Rightarrow A\leq 21-6.2=9\). Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,1,2)$ và các hoán vị.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài 2a)
Ta có
\(A=a^2+b^2+c^2=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2-3-2(a+b+c)\)
\(\Leftrightarrow A=(a+b+c+3)^2-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]-3\)
\(\Leftrightarrow A=6-2[(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)]\)
Vì \(-1\leq a,b,c\leq 2\Rightarrow a+1,b+1,c+1\geq 0\)
\(\Rightarrow (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)\geq 0\Rightarrow A\leq 6\)
Dấu bằng xảy ra khi \((a,b,c)=(-1,-1,2)\) và các hoán vị của nó
SC
1
2 tháng 2 2018
\(fix:\left\{{}\begin{matrix}\left|a-c\right|< 3\\\left|b-c\right|< 2\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế \(\Rightarrow\left|a-c\right|+\left|b-c\right|< 3+2=5\)
\(\Rightarrow\left|a-c\right|+\left|c-b\right|< 5\)
Áp dụng bất đẳng thức: \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) ta được: \(\left|a-c\right|+\left|c-b\right|\ge\left|a-c+c-b\right|=\left|a-b\right|\)
Suy ra: \( \left|a-b\right|\le\left|a-c\right|+\left|c-b\right|< 5\)
Hay \(\left|a-b\right|< 5\left(đpcm\right)\)
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 7 2020
\(VT=a^3\left(b^2-c^2\right)+b^3\left(b^2-a^2\right)+b^3\left(c^2-b^2\right)+c^3\left(a^2-b^2\right)\)
\(=\left(b^2-c^2\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a^2-b^2\right)\left(b^3-c^3\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b+c\right)\left(a^2+b^2+ab\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a+b\right)\left(b^2+c^2+bc\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2b+a^2c-ac^2-bc^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left[b\left(a-c\right)\left(a+c\right)+ac\left(a-c\right)\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\b-c< 0\\a-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)< 0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(ab+bc+ca\right)< 0\) (đpcm)
DD
0
HN
5 tháng 5 2017
Vì \(0< a,b,c< 1\) nên
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< a\\b^2< b\\c^2< c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< a+b+c=2\)
c/m phản chứng hoặc đổi (a^3;b^3)->(x;y) ,dùng holder
AM-GM: \(a^3+b^3\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\)