CMR: 1/a-1/a+n= n/a(a+n)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
1
ND
1
BD
11 tháng 4 2023
\(\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}\)
\(\dfrac{a}{n+\left(n+a\right)}+\dfrac{1}{n+a}=\dfrac{1}{n}\)
Vậy ta sẽ CRM\(\dfrac{a}{n+\left(n+a\right)}+\dfrac{1}{n+a}=\dfrac{1}{n}\)
\(\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}+\dfrac{1}{n+a}\)
\(=\dfrac{a}{n}\cdot\dfrac{1}{\left(n+a\right)}+\dfrac{1}{n+a}\)
\(=\dfrac{1}{n+a}\cdot\left(\dfrac{a}{n}+1\right)\)
\(=\dfrac{1}{n+a}\cdot\dfrac{a+n}{n}\)
Đã \(CMR:\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}\)
VV
0
7 tháng 10 2021
\(1,\)
\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)
Với \(n=k+1\)
\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)
Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)
Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)
Với \(n=k+1\)
\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)
Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)
Theo pp quy nạp ta được đpcm
7 tháng 10 2021
\(1,\)
\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)
Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)
\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)
Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)
D
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 4 2019
BĐT chỉ đúng với điều kiện \(a;b\) dương, còn a, b âm thì sai hoàn toàn
Khi \(a;b\) dương, biến đổi tương đương:
\(\frac{a^n+b^n}{a^{n-1}+b^{n-1}}\ge\frac{a^{n-1}+b^{n-1}}{a^{n-2}+b^{n-2}}\Leftrightarrow\left(a^n+b^n\right)\left(a^{n-2}+b^{n-2}\right)\ge\left(a^{n-1}+b^{n-1}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^{2\left(n-1\right)}+b^{2\left(n-1\right)}+a^nb^{n-2}+a^{n-2}b^n\ge a^{2\left(n-1\right)}+b^{2\left(n-1\right)}+2a^{n-1}b^{n-1}\)
\(\Leftrightarrow a^nb^{n-2}+a^{n-2}b^n\ge2a^{n-1}b^{n-1}\) (luôn đúng theo BĐT Cauchy)
Vậy BĐT được chứng minh
\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a\left(a+n\right)}\Leftrightarrow\frac{1\left(a+n\right)}{a\left(a+n\right)}-\frac{a}{a\left(a+n\right)}=\)
\(=\frac{a+n}{a\left(a+n\right)}-\frac{a}{a\left(a+n\right)}=\frac{a+n-a}{a\left(a+n\right)}=\frac{n}{a\left(a+n\right)}\)
=>Đpcm
\(\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+n=n=\frac{n}{a}.\left(a+n\right)\) (đpcm)