Cho ba điểm cố định thẳng hàng A,M,B theo thứ tự đó.Vẽ 1 đường tròn tùy ý có tâm là O nhận AB làm dây không đi qua tâm. Gọi H là hình chiếu của M lên OA,tia đối của tia MH cắt đường tròn (O) tại N,chứng minh: độ dài AN luôn không đổi.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
23 tháng 9 2019
Ta có AN ⊥ NO, MP ⊥ NO, M ∉ AN => AN // MP
Do đó AMPN là hình bình hành ó AN = MP = 2x
Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM => A N N E = N O E M = > N E = 2 x 2 R
TH 1.NE = NO – OE => 2 x 2 R = R − R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 − R R 2 − x 2
Đặt R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .
PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 − R t ⇔ 2 t 2 − R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = − R t = R
Do t ≥ 0 ⇒ t = R ⇔ R 2 − x 2 = R ⇔ x = 0 ⇒ A ≡ B (loại)
TH 2 NE = NO + OE => 2 x 2 R = R + R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 + R R 2 − x 2
Đặt R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .
PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 + R t ⇔ 2 t 2 + R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = R t = − R
Do t ≥ 0 ⇒ 2 t = R ⇔ 2 R 2 − x 2 = R ⇔ x = R 3 2 = > A O = 2 R (loại)
Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh
Kéo dài AO cắt đường tròn (O) tại J, từ đó suy ra AJ là đường kính hay \(\widehat{ABJ}=\widehat{ANJ}=90^o\) .
Ta thấy ngay \(\Delta AMH\sim\Delta AJB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AM}{AJ}\Rightarrow AH.AJ=AB.AM\) (không đổi).
Xét tam giác vuông ANJ, áp dụng hệ thức lượng ta có: \(AN^2=AH.AJ=AM.AB\) (không đổi)
Vậy AN luôn không đổi và \(AN=\sqrt{AM.AB}\).
Cô Huyền làm đúng rồi