cho x,y>0 t/m x+y+xy=1
Tìm GTNN của P=\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
K
2
HN
27 tháng 10 2019
a.\(DK:x,y>0\)
Ta co:
\(A=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{xy}.\frac{\sqrt{xy}\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\)
b.
Ta lai co:
\(A=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\ge\frac{2\sqrt{\sqrt{x}.\sqrt{y}}}{4}=1\)
Dau '=' xay ra khi \(x=y=4\)
Vay \(A_{min}=1\)khi \(x=y=4\)
LD
1
AR
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
\(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\ge\frac{4}{xy+yz}=\frac{4}{y\left(x+z\right)}=\frac{4}{y\left(2-y\right)}=\frac{4}{1-\left(y-1\right)^2}\)
Do \(0< y< 2\Rightarrow0< 1-\left(y-1\right)^2\le1\Rightarrow\frac{4}{1-\left(y-1\right)^2}\ge4\)
\(\Rightarrow P_{min}=4\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
KB
16 tháng 3 2019
Ta có : \(x+y+z=2\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=4\Rightarrow4\ge4\left(x+y\right)z\Rightarrow1\ge\left(x+z\right)y\)
Lại có : \(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}=\frac{z+x}{xyz}=\frac{\left(x+z\right).1}{xyz}\ge\frac{\left(x+z\right)\left(x+z\right).y}{xyz}=\frac{\left(x+z\right)^2.y}{xyz}\ge\frac{4xzy}{xyz}=4\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+z=y\\x=z;x+y+z=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow y=1;x=z=\frac{1}{2}\)
Vậy ...
1 tháng 6 2019
em viết nhầm đề nha.M = \(\frac{y}{\sqrt{xy}-x}+\frac{x}{\sqrt{xy}+y}-\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\)mới đúng
HH
2
27 tháng 6 2017
\(M=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}=\frac{4}{1}+\frac{1}{\frac{1}{2}}=6\)
1 tháng 10 2018
mình không hiểu quá trình biến đổi của bạn alibaba sau dấu lớn hơn hoạc bằng
AR
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(x^2+1\geq 2x\); \(y^2+1\geq 2y\)
\(\Rightarrow M=x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}\geq 2x+2y-2+\frac{3}{x+y+1}\)
hay \(M\geq \frac{5}{3}(x+y)-\frac{7}{3}+\frac{x+y+1}{3}+\frac{3}{x+y+1}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{x+y+1}{3}+\frac{3}{x+y+1}\geq 2\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}=2\)
Do đó: \(M\geq \frac{5}{3}.2-\frac{7}{3}+2=3\)
Vậy GTNN của $M$ là $3$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$