Cho x+y=4
Tìm GTNN của P=(1+x^4)(1+y^4)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 10 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM
$A=\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 2\sqrt[4]{\frac{1}{xy}}$
Cũng áp dụng AM-GM:
$4=x+y\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq 4$
Do đó: $A\geq 2\sqrt[4]{\frac{1}{xy}}\geq 2\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=\sqrt{2}$
Vậy $A_{\min}=\sqrt{2}$ khi $x=y=2$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2021
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{64}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{64}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)
\(P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\)
\(P=a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)+3=a^2+b^2+c^2+5\le1+5=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị
HN
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 7 2021
Bài này ko biết làm theo kiểu toán sơ cấp, nhìn điều kiện \(x^2-y^2=4\) thì khá dễ đến việc hyperbolic hóa biến số, qua đó dễ dàng tìm được min của P là \(2\sqrt{5}-6\) . Nhưng sử dụng toán sơ cấp thì đúng là chưa nghĩ ra.
Cách hyperbolic hóa:
\(P=3x^2\left(x^2-4\right)+xy^3+xy\left(y^2+4\right)=3\left(xy\right)^2+xy^3+x^3y=3\left(xy\right)^2+xy\left(x^2+y^2\right)\)
Nếu x;y cùng dấu thì P>0, xét trong trường hợp x;y trái dấu. Không mất tính tổng quát, giả sử \(x>0\)
Từ giả thiết: \(x^2-y^2=4\Rightarrow\left(\dfrac{x}{2}\right)^2-\left(\dfrac{y}{2}\right)^2=1\) \(\Rightarrow\dfrac{x}{2}\ge1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{2}=cosh\left(u\right)\\\dfrac{y}{2}=sinh\left(u\right)\end{matrix}\right.\)
\(P=3\left(4sinh\left(u\right).cosh\left(u\right)\right)^2+4sinh\left(u\right).cosh\left(u\right)\left[4sinh^2u+4cosh^2u\right]\)
\(=12sinh^2\left(2u\right)+8sinh\left(2u\right).cosh\left(2u\right)\)
\(=6\left[cosh\left(4u\right)-1\right]+4sinh\left(4u\right)\)
\(=6cosh\left(4u\right)+4sinh\left(4u\right)-6\)
\(=2\sqrt{5}\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}}cosh\left(4u\right)+\dfrac{2}{\sqrt{5}}sinh\left(4u\right)\right)-6\)
\(=2\sqrt{5}cosh\left(4u+\alpha\right)-6\ge2\sqrt{5}-6\)
(Trong đó \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}=cosh\left(\alpha\right)\) ; \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}=sinh\left(\alpha\right)\))
Nhìn điểm rơi \(4u+\alpha=0\) với \(\alpha=arccosh\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\right)=ln\left(\sqrt{5}\right)\) xuất hiện logarit tự nhiên thì mình không nghĩ bằng 1 pp sơ cấp nào đó có thể giải quyết được bài này.
LT
9
C
23 tháng 9 2019
Đặt \(x=\sqrt{10}sin^2a\); \(y=\sqrt{10}cos^2a\)
(Lúc đó: \(x+y=\sqrt{10}\left(sin^2a+cos^2a\right)=\sqrt{10}\))
Lúc đó: \(K=\left(1+100sin^8a\right)\left(1+100cos^8a\right)\)
\(=10^4sin^8acos^8a+200sin^4acos^4a-400sin^2acos^2a+101\)
Đặt \(sin^2acos^2a=l\)
\(\Rightarrow K=f\left(l\right)=10^4l^4+200l^2-400l+101\)
\(\Rightarrow K_{min}=f\left(\frac{1}{5}\right)=45\)
LQ
0
DT
6
4 tháng 3 2017
Cách làm:
(1+x4)(1+y4)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
\(\left[1+\left(x^2\right)^2\right]+\left[x+\left(y^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\left[1+\left(x^2\right)\right]^2+\left[1+\left(y\right)^2\right]^2\ge\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]^2\)
Để đạt Min thì \(\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)=\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]\)
Đặt xy=t, ta có:
\(P=\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)+4\left(xy-1\right)+\left(3xy-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left[\left(x+y\right)^2-2t\right]^2+4\left(t-1\right)+\left(3t-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P=\left(4-2t\right)^2+\left(4t-4\right)\left(3t-1\right)\)
\(\Leftrightarrow P=16-16t+4t^2+12t^2-16t+4\)
\(\Leftrightarrow P=16t^2-32t+16+4\)
\(\Leftrightarrow P=\left(4t-4\right)^2+4\)
Ta có: \(\left(4t-4\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(4t-4\right)^2+4\ge4\)
\(\Rightarrow Min_P=4\)
@Phương An
DM
4 tháng 3 2017
\(P=\left(1+x^4\right)\left(1+y^4\right)+4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)\)
Vì \(\left(1+x^4\right)\ge1;\left(1+y^4\right)\ge1\) => Để \(P_{min}\Leftrightarrow4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)\)
\(\Rightarrow4\left(xy-1\right)\left(3xy-1\right)=0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)=0\)
Mà \(x+y=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thì \(\left(xy-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(1+1^4\right)\cdot\left(1+1^4\right)+4\cdot\left(1\cdot1-1\right)\left(3\cdot1\cdot1-1\right)\)
\(\Rightarrow2\cdot2+0\)
\(\Rightarrow P_{min}=4\)
HT
0
VN
2
TV
4 tháng 3 2017
hôm qua thì tui cũng gặp bài này nè nhưng không biết làm , khó quá !
VN
1