cho \(a+b+c+ab+bc+ac=1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TT
27 tháng 9 2020
Theo Svac - xơ có :
\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Khi đó \(P\ge\frac{9}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)
\(=\left(\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\right)+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{7}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{21}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{30}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=: xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=\frac{10}{3}\) khi \(a=b=c=1\)
UI
20 tháng 5 2020
Dat \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
thi \(P= \Sigma \frac{z^2}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2} \) (1)
Mat khac co \(x+y+z=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\) (2)
Tu (1) va (2) suy ra \(P\ge\frac{3}{2}\).Dau = xay ra khi \(a=b=c=1\)
13 tháng 11 2016
Ta có
\(\frac{\sqrt{1+a^3+b^3}}{ab}\ge\frac{\sqrt{3ab}}{ab}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ab}}\)
Tương tự
\(\frac{\sqrt{1+b^3+c^3}}{bc}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{bc}}\)
\(\frac{\sqrt{1+a^3+c^3}}{ac}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{ac}}\)
Từ đó
\(P\ge\sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\right)\ge\sqrt{3}\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=3\sqrt{3}\)
Đạt được khi a = b = 1
26 tháng 8 2020
Làm đi làm lại nhiều rồi chán không muốn viết nữa vô TKHĐ xem hình ảnh
22 tháng 8 2015
Ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0.\)
Xét biểu thức \(Q=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\to P-Q=\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)=0.\) Vậy \(P=Q\) . Mặt khác,\(2P=P+Q=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b}{3}+\frac{b+c}{3}+\frac{c+a}{3}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=2\cdot2013\cdot\sqrt{3}\)
Do đó \(P\ge2013\cdot\sqrt{3}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=2013\sqrt{3}.\)