Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Cái này chuẩn CBS dạng đặc biệt với hai tử số bằng 1
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Cauchy đi mài ._.
Vì a, b > 0 nên áp dụng bđt Cauchy cho :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\cdot\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
Nhân hai vế tương ứng ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
Đây nhé
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)
Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)
Xét a = b = c = 1 thì thỏa mãn bài ra
Xét a ,b,c khác 1. do a,b,c có vai trò như nhau nên giả sử \(a\le b\le c\)
Áp dụng BĐT cô-si cho 3 số a+b+1,1-a,1-b, ta có :
\(\left(a+b+1\right)\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le\left(\frac{a+b+1+1-a+1-b}{3}\right)^3=1\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\le\frac{1}{a+b+1}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\frac{1-c}{a+b+1}\)
Mà \(\frac{a}{b+c+1}\le\frac{a}{a+b+1};\frac{b}{a+c+1}\le\frac{b}{a+b+1}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}\le\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1}\)
do đó : \(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\)
\(\le\frac{a+b+c}{a+b+1}+\frac{1-c}{a+b+1}=1\)
dấu " = " xảy ra khi a = b = c = 0
vậy ...
1 ) \(â+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi a = b = c
2) Nhân 2 vế bpt vs abc
Cm như 1)
3) \(a+2\ge2\sqrt{2a}\)
\(b+8\ge2\sqrt{8b}\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\a=b\end{matrix}\right.\) (vô lí)
nên k xảy ra đẳng thức
Sử dụng trường hợp riêng của BĐT Schur. Với a,b,c là các sooa thực ko âm và k>0 ta luôn có :
\(a^k\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b^k\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c^k\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\)
Anh tth_new ơi,mẹ em bắt em dirichlet ạ :( Mẹ em còn chỉ em bài toán tổng quát là:
Cho a,b,c dương,CMR:\(m\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+3m+2\ge\left(2m+1\right)\left(a+b+c\right)\)
\(BĐT\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge5\left(a+b+c\right)\)
Thôi,đi vào giải quyết bài toán.
Trong 3 số \(a-1;b-1;c-1\) có ít nhất 2 số cùng dấu,giả sử đó là \(a-1;b-1\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab-a-b+1\ge0\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\)
Khi đó BĐT tương đương với:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc+8\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\)
Ta cần chứng minh:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ac+bc-c+8\ge5\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-2\right)^2+\left(c+a-2\right)^2+3\left(a-1\right)^2+3\left(b-1\right)^2+2\left(c-1\right)^2\ge0\)
Hình như cái BĐT cuối đúng thì phải ạ.
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1
Sao lạ thế nhỉ, áp cái được luôn?
\(2a+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ge3\sqrt[3]{2a.\frac{b}{a}.\frac{c}{b}}=3\sqrt[3]{2c}\)
Đẳng thức tự xét.
Vì a, b, c > 0
=> a/b > 0 ; b/c > 0 ; c/a > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho :
\(\frac{a}{b}+1\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot1}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(1)
\(\frac{b}{c}+1\ge2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot1}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(2)
\(\frac{c}{a}+1\ge2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot1}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(3)
Nhân (1), (2) và (3) theo vế
=> \(\left(\frac{a}{b}+1\right)\left(\frac{b}{c}+1\right)\left(\frac{c}{a}+1\right)\ge2\sqrt{\frac{a}{b}}\cdot2\sqrt{\frac{b}{c}}\cdot2\sqrt{\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=1\)
=> đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
à nhầm tí :v \(8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=8\cdot1=8\)nhé ._.