Cho \(a\ge b\ge c>0\). Tìm GTNN của biểu thức: \(L=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 10 2020
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2bc+2ac}\)
Mặt khác : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2ab+2bc+2ac}\ge\frac{3}{2}\)
KN
5 tháng 10 2020
Dự đoán \(MinL=\frac{3}{2}\)khi a = b = c
Ta cần chứng minh \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow\left(\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)+\left(c-a\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}-\frac{a-b}{2\left(b+c\right)}-\frac{c-a}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)-\frac{c-a}{2}\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}.\frac{c-a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}-\frac{c-a}{2}.\frac{a-b}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}-\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)(đúng do \(a\ge b\ge c>0\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
18 tháng 8 2019
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
18 tháng 8 2019
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)
TM
27 tháng 5 2017
Nhân cả 2 vế với a+b+c
Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0
dễ rồi nhé
TM
27 tháng 5 2017
b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)
=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
=>Pmax=3/4 <=> x=y=z=1/3
1 tháng 6 2020
BĐT Bunhiacopxky em chưa học cô ạ
Cô cong cách nào không ạ
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 6 2020
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh:
Vậy thì bạn có thể chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ thông qua BĐT Cô-si:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$
$xy+yz+xz\geq 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}$
Nhân theo vế:
$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz$
$\Rightarrow \frac{xy+yz+xz}{xyz}\geq \frac{9}{x+y+z}$
hay $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$
24 tháng 12 2019
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
25 tháng 12 2019
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
LT
13 tháng 12 2017
\(áp\)\(dụng\)\(BĐT\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(ta\)\(có\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
\(=\frac{3a^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
\(\ge\frac{3a^2}{b^2+c^2}+2\ge3+2=5\)
dấu = xảy ra khi \(a^2=2b^22c^2\)
VT
13 tháng 12 2017
Những bài ntn chúng ta nên nhẩm ngiệm để cô si
ta có A=\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2}{4b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{a^2}{4c^2}+\frac{c^2}{a^2}+\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\)
Áp dụng bđt cô si cho cặp sô thứ 1, cho cặp số thứ 2
Ta có\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge\frac{4a^2}{b^2+c^2}=4\Rightarrow\frac{3}{4}\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\right)\ge3\)
+ hết vào ...=> A>=...
dấu = xáy ra <=> b=c=a=1/căn(2)
TT
28 tháng 2 2020
1) Tìm GTNN :
Ta có : \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}+1}=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
2) Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3+a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
2/ Áp dụng bđt Cô- si cho 2 số dương ta có :
\(\frac{a^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+b}\frac{1+b}{4}}=a\)
Tương tự ta có \(\frac{b^2}{1+c}+\frac{1+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge a+b+c-\left(\frac{1+b}{4}+\frac{1+c}{4}+\frac{1+a}{4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+c}+\frac{c^2}{1+a}\ge3-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{4}=3-\frac{1}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1
31 tháng 1 2017
\(\frac{a}{a+b}\)>= \(\frac{a}{a+a}\)= \(\frac{1}{2}\)( vì a + a >= a + b vì a >= b )
\(\frac{b}{b+c}\) >= \(\frac{b}{b+b}\)= \(\frac{1}{2}\)( vì b + b >= b + c vì b >= c )
\(\frac{c}{c+a}\)>= \(\frac{c}{c+c}\) = \(\frac{1}{2}\)( vì c + c >= c + a vì c>=0 )
Từ 3 điều này suy ra
\(\frac{a}{a+b}\)+ \(\frac{b}{b+c}\)+ \(\frac{c}{c+a}\)>= \(\frac{3}{2}\)
HP
31 tháng 1 2017
dễ dàng c/m (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) \(\ge\) 9,dấu "=" khi x=y=z (*)
a/a+b +b/b+c +c/c+a >= 3/2
<=>(a/b+c + 1) + (b/c+a + 1) + (c/a+b + 1) >= 3/2+1+1+1
<=>(a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a) + (a+b+c)/(a+b) >= 9/2
<=>2(a+b+c)(1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) >= 9/2
<=>[(b+c)+(c+a)+(a+b)](1/b+c + 1/c+a + 1/a+b) >= 9/2 (bđt (*))
6 tháng 2 2017
Đặt: a + b = x; b + c = y; c + a = z
Thì ta có: x \(\ge\)z \(\ge\)y
Theo đề bài ta có:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}+\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{z-y}{2x}+\frac{x-z}{2y}+\frac{y-x}{2z}\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\ge0\)(1)
Mà ta lại có
\(\hept{\begin{cases}y-x\le0\\z-x\le0\\z-y\ge0\end{cases}}\)nên (1) đúng
\(\Rightarrow\)ĐPCM
Đấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c
5 tháng 2 2017
Đặt b+c=m
a+c=n
a+b=p
=>a+b+c =\(\frac{m+n+p}{2}\)
a=\(\frac{n+p-m}{2}\)
b=\(\frac{m+p-n}{2}\)
c=\(\frac{m+n-p}{2}\)
=>\(\frac{n+p-m}{2m}+\frac{m+n-p}{2n}+\frac{m+n-p}{2p}\)
=\(\frac{1}{2}\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{m}+\frac{m}{p}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{n}+\frac{n}{p}\right)\) -\(\frac{3}{2}\) \(\ge\) \(\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số \(\frac{n}{m};\frac{m}{n}\) ta được:
Từ chứng minh tiếp ....
Ta có:
\(L=\frac{\sum\left(abc+a^2b+ca^2+c^2a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{3abc+2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}{2abc+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\).
Ta chứng minh \(L\ge\frac{3}{2}\). (*)
Thật vậy:
\(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge ab^2+bc^2+ca^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\ge0\left(Q.E.D\right)\).
(*) được chứng minh.
Vậy Min P = 0,125 khi a = b = c.
\(L=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=1-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
\(L=b\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b}\right)+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\)
\(L=\frac{b\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}+\frac{3}{2}=\left(a-c\right)\left(\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}-\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)+\frac{3}{2}\)
\(L=\left(a-c\right)\left(\frac{ab+bc-ac-b^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)+\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi ít nhất 2 trong 3 số bằng nhau