Cho a, b > 0 và a + b ≤ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của: S = \(\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TM
28 tháng 3 2017
Hình như đề là a2+b2 thôi chứ có cả 1+a2+b2 luôn à? Mình làm theo cái đề có a2+b2 chứ không có +1 nhé!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schawrz dạng Engel ta được:
\(B=\frac{1^2}{a^2+b^2}+\frac{1^2}{2ab}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\)
mà a;b>0 => a+b>0 và \(a+b\le1\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le1\) => \(\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{4}{1}=4\)
=>\(B=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge4\Rightarrow B_{min}=4\) <=> a=b=0,5
TN
29 tháng 3 2017
@Trà My: có 1+a2+b2 thì vẫn có Min vấn đề là chưa đủ trình độ mà còn đòi tự sửa đề
6 tháng 10 2019
\(A=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab\)
\(=2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{34}{ab}+\frac{17}{8}ab-\frac{1}{8}ab\)
\(\ge2.\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{34}{ab}.\frac{17}{8}ab}-\frac{1}{8}.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2.\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2.\frac{17}{2}-\frac{1}{8}.\frac{4}{4^2}+17-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{2}+17-\frac{1}{2}=17\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
Chúc bạn học tốt !!!
NH
2
25 tháng 7 2017
\(S=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)
\(S=\left(1+\frac{1}{1-b}\right)\left(1+\frac{1}{1-a}\right)\)
\(S=\frac{1-b+1}{1-b}\times\frac{1-a+1}{1-a}\)
\(S=\frac{\left(2-b\right)\left(2-a\right)}{\left(1-b\right)\left(1-a\right)}\)
\(S=\frac{4-2a-2b+ab}{1-a-b+ab}=\frac{4-2\left(a+b\right)+ab}{1-\left(a+b\right)+ab}\)
\(S=\frac{4-2+ab}{1-1+ab}=\frac{2+ab}{ab}=1+\frac{2}{ab}\)(*)
từ \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow4ab\le1\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{1}{ab}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{ab}\ge8\)(1)
thay (1) vào (*) có
\(S=1+\frac{2}{ab}\ge1+8=9\)
vậy GTNN của \(S=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
31 tháng 5 2018
Ta thấy: \(a+b\le1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le1-b\\b\le1-a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1+a\le2-b\\1+b\le2-a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{1+b}\ge\frac{a}{2-a}\\\frac{b}{1+a}\ge\frac{b}{2-b}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{1}{a+b}\)
\(=\frac{2}{2-a}-1+\frac{2}{2-b}-1+\frac{1}{a+b}=\frac{2}{2-a}+\frac{2}{2-b}+\frac{1}{a+b}-2\)
\(=2\left(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}-1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{4-\left(a+b\right)+2\left(a+b\right)}=\frac{9}{4+a+b}\)
Lại có: \(a+b\le1\Rightarrow4+a+b\le5\Rightarrow\frac{9}{4+a+b}\ge\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{5}\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}-1\right)\ge\frac{8}{5}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{8}{5}.\)
Vậy \(Min_S=\frac{8}{5}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{2}{5}.\)
\(S=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{\frac{1}{9}}{2ab}+\frac{4}{9ab}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{3}\right)^2}{1+a^2+b^2+2ab}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\)
\(S\ge\frac{\frac{16}{9}}{1+\left(a+b\right)^2}+\frac{16}{9\left(a+b\right)^2}\ge\frac{\frac{16}{9}}{1+1}+\frac{16}{9}=\frac{8}{3}\)
\(S_{min}=\frac{8}{3}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)