cho a/b < 1. cmr a/b < a+c/b+c (a,b,c thuộc th Z, b,c >0)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
MP
1
TM
9 tháng 8 2017
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad>bc\Leftrightarrow ad+dc>bc+dc\Leftrightarrow d\left(a+c\right)>c\left(b+d\right)\)
<=>\(\frac{d\left(a+c\right)}{d\left(b+d\right)}>\frac{c\left(b+d\right)}{d\left(b+d\right)}\)(do b,d>0)<=>\(\frac{a+c}{b+d}>\frac{c}{d}>\frac{a}{b}\)
ta có đpcm.
MP
1
5 tháng 3 2021
Giải:
a) Ta có:
a/b=c/d
a =c/d.b
a =(c.b)/d
a.d=c.b
Ngược lại, ta có:
a.d=c.b
a =(c.b)/d
a =c/d.b
a/b=c/d
b) Ta có:
a/b>c/d
a >c/d.b
a >(c.b)/d
a.d>c.b
Ngược lại, ta có:
a.d>c.b
a >(c.b)/d
a >c/d.b
a/b>c/d
c) Ta có:
a/b
a
a <(c.b)/d</p>
a.d
Ngược lại, ta có:
a.d
a <(c.b)/d</p>
a
a/b
MP
2
LM
9 tháng 8 2017
Có:a/b<c/d
=>ad<cb
=>ad+ab<cb+ab
=>a(b+d)<b(a+c)
=>a/b<a+c/b+d(đpcm)
MP
0
MP
1
24 tháng 6 2019
a,
b, a/b < c/d => ad < cb
=>ad +ab < bc+ab
=> a(d+b) < b(a+c)
=> a/b < a+c/d+b (1)
* a/b < c/d => ad<cb
=> ad + cd < cb +cd
=> d(a+c) < c(b+d)
=> c/d > a+c/b+d (2)
Từ (1) và (2) => a/b < a+c/b+d < c/d
24 tháng 6 2019
Vì \(b,d>0\)nên \(bd>0\)
Ta có: \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ad}{bd}< \frac{bc}{bd}\)
\(\Leftrightarrow ad< bc\)vì \(bd>0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 5 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)
Vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)
Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương
Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:
\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vì \(\frac{a}{b}< 1\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{b}{b}\Rightarrow a< b\) (vì b >0)
Có : \(\frac{a}{b}=\frac{a\left(b+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+ac}{b\left(b+c\right)}\)
\(\frac{a+c}{b+c}=\frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+c\right)}=\frac{ab+bc}{b\left(b+c\right)}\)
Vì b,c > 0 => b + c > 0 => b(b+c) > 0
Vì a < b , c>0 => ac < bc => \(\frac{ab+ac}{b\left(b+c\right)}< \frac{ab+bc}{b\left(b+c\right)}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
Ta có:
(a + c) / (b + c) = (a + b + c) / (b + c) - b/(b + c) = a/(b + c) + 1 - b/(b + c) (1)
Mà a/b < 1 nên a < b (2)
Từ (1),(2) suy ra:
a/(b + c) - b/(b + c) + 1 < 1
Vậy nên ta có a/b < (a + c) /(b+c)