Tìm các số nguyên x sao cho x3-3x2+x+2 là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BC
0
MN
1
23 tháng 4 2019
Cách này sử dụng các hằng đặng thức đáng nhớ:
\(A^2+2AB+B^2=\left(A+B\right)^2\)
và \(A^2-B^2=\left(A-B\right)\left(A+B\right)\)
Em tìm hiểu nhé!
Đặt : \(x^2-x-1=a^2\) nhân 4 vào 2 vế ta có:
\(4x^2+4x-4=4a^2\Leftrightarrow4x^2+4x+1-5=\left(2a\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2a\right)^2=5\)
<=> \(\left(2x+1-2a\right)\left(2x+1+2a\right)=5\)
Vì x, a nguyên nên mình sẽ có các trường hợp
TH1: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=5\\2x+1+2a=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\a=-1\end{cases}}}\)thay vào thỏa mãn
TH2: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-5\\2x+1+2a=-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\a=1\end{cases}}}\)thử vào thỏa mãn
TH3: \(\hept{\begin{cases}2x+1-2a=-1\\2x+1+2a=-5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\a=-1\end{cases}}}\)thử vào thỏa mãn
TH4: .....làm tiếp nhé
kết luận x=-2 hoặc x=1
PT
0
31 tháng 1 2024
Giả sử \(x^3+x^2+2025\) là số chính phương nhỏ hơn 10000. Ta có phương trình:
\(x^3+x^2+2025 =k^2(k \in N,k^2<10000 \Leftrightarrow
k<100)\)
\(\Leftrightarrow
\)\(2025=k^2-x^2(x+1)\)
\(\Leftrightarrow
\)\(2025=(k-x\sqrt{x+1})(k+x\sqrt{x+1})\)
Mà \(k-x\sqrt{x+1} < k+x\sqrt{x+1}< 100\)(Vì \(k < 100\))
\(\Rightarrow \)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=81\\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\\
\begin{cases}
k+x\sqrt{x+1}=75\\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
2k=106\\
k-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\\
\begin{cases}
2k=102\\
k-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
53-x\sqrt{x+1}=25
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
51-x\sqrt{x+1}=27
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
x\sqrt{x+1}=28
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
x\sqrt{x+1}=24
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
x^3+x^2-784=0
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
x^3+x^2-576=0
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{}
\begin{cases}
k=53\\
x^3+x^2-784=0(PTVN)
\end{cases}\\
\begin{cases}
k=51\\
x^3-8x^2+9x^2-72x+72x-576=0
\end{cases}\\
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}
k=51\\
(x-8)(x^2+9x+72)=0
\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}
k=51(t/m)\\
\left[\begin{array}{}
x=8(t/m)\\
(x+\frac{9}{2})^2+\frac{207}{4}=0(PTVN)
\end{array} \right.
\end{cases}\)
Vậy chỉ có giá trị \(x=8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
P/s: Cái c/m vô nghiệm kia mình không biết làm. Chỉ biết bấm máy tính không ra nghiệm nguyên
#)Giải :
\(x^3-3x^2+x+2\)
\(=x^3-2x^2-x^2+2x-x+2\)
\(=x^2\left(x-2\right)-x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)\)
\(=\left(x-2\right)\left(x^2-x-1\right)\)
Để \(x^3-3x^2+x+2\) là số chính phương \(\Leftrightarrow x-2=x^2-x-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\Leftrightarrow x=1\)