Cho \(\Delta ABC.M,N,P\in BC,CA,AB.\)CM: AM,BN,CP đồng quy tại tâm tỉ cự của hệ điểm{A;B;C} với hệ số \(\left\{\alpha,\beta,\gamma\right\}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\alpha+\beta+\gamma\ne0\\\beta\overrightarrow{MB}+\gamma\overrightarrow{MC}=\gamma\overrightarrow{NC}+\alpha\overrightarrow{NA}=\alpha\overrightarrow{PA}+\beta\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}\end{cases}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 2 2019
Gọi giao điểm thứ hai của AH,BH,CH với đường tròn (O) thứ tự là D,E,F. Gọi OD cắt BC tại M, OE cắt CA tại N, OF cắt AB tại P.
Ta sẽ chứng minh 3 điểm M,N,P nói trên thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện của đề:
+) ĐK 1: MH + MO = NH + NO = PH + PO
Ta có: ^BDH = ^BDA = ^BCA = ^BHD => \(\Delta\)HBD cân tại B => BH = BD. Tương tự: CH = CD
Do đó: BC là trung trực của HD. Vì M thuộc BC nên MH = MD => MH + MO = MD + MO = OD = R
Chứng minh tương tự ta được: MH + NO = NH + NO = PH + PO = R (R là bán kính đường tròn (O)) (Thỏa mãn)
+) ĐK 2: AM,BN,CP đồng quy (Đặt 1800 - 2.^BAC = \(\alpha\); 1800 - 2.^ABC = \(\beta\); 1800 - 2.^ACB = \(\gamma\))
Đường tròn (O) có: ^BOD và ^BAD là góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn (BD => ^BOD = 2.^BAD
Hay ^BOM = 2.(900 - ^ABC) = 1800 - 2.^ABC. Tương tự: ^COM = 1800 - 2.^ACB
Áp dụng ĐL hàm Sin: \(\frac{BM}{CM}=\frac{\sin\widehat{BOM}}{\sin\widehat{COM}}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}\)Tương tự: \(\frac{AP}{BP}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta};\frac{CN}{AN}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}\)
Từ đó: \(\frac{AP}{BP}.\frac{BM}{CM}.\frac{CN}{AN}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}=1\)
Theo điều kiện đủ của ĐL Céva thì 3 đường thẳng AM,BN,CP đồng quy (Thỏa mãn)
Vậy nên tồn tại 3 điểm M,N,P là 3 điểm thỏa mãn bài.
3 tháng 3 2022
\(\dfrac{AE}{EM}=\dfrac{S_{AEC}}{S_{MEC}}=\dfrac{S_{AEB}}{S_{MEB}}=\dfrac{S_{AEC}+S_{AEB}}{S_{BEC}}\)
\(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{S_{AEN}}{S_{CEN}}=\dfrac{S_{ABN}}{S_{CBN}}=\dfrac{S_{ABN}-S_{AEN}}{S_{CBN}-S_{CEN}}=\dfrac{S_{AEB}}{S_{BEC}}\)
\(\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{S_{AEP}}{S_{BEP}}=\dfrac{S_{ACP}}{S_{BCP}}=\dfrac{S_{ACP}-S_{AEP}}{S_{BCP}-S_{BEP}}=\dfrac{S_{ACE}}{S_{BEC}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{AN}{BN}+\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{S_{AEB}+S_{ACE}}{S_{BEC}}=\dfrac{AE}{EM}\)