Question

[NOOB (chuyên hỏi bài)]

Cho a,b,c,d là số không âm . Chứng minh :

a⁴+b⁴+c⁴+d⁴ ≥ 4abcd .

giúp mik với bài này khó quá ❔

Answer 1

[Vũ Mạnh Dũng]

Với mọi a,b ko âm ta có : a² + b² ≥ 2ab

Do đó a⁴ + b⁴ ≥ 2a²b² (1)

c⁴ + d⁴ ≥ 2c²d² (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra :
a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 2[ (ab)² + (cd)² ]

⇔ a⁴ + b⁴ + c⁴ +d ⁴ ≥ 2(2abcd)

⇒a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ ≥ 4abcd.

Answer 2

[nà ní]

ta có a²+b² ≥ 2ab với a,b ≥ 0

⇒ (a²)²+(b²)² ≥ 2a²b²

⇔ a⁴+b⁴ ≥ 2a²b²

tương tự c⁴+d⁴ ≥ 2c²d²

⇒ \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\)(1)

tưng tự với các số ab và cd ta có

\(a^2b^2+c^2d^2\ge2abcd\)(2)

từ (1) và (2) ta có \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\left(2abcd\right)\)

hay \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=d=0