, Cm x^2+y^2\(\ge\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
bằng 2 cách
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 10 2017
dễ cm bđt: x²+y² ≥ (x+y)²/2, khai triễn là ra hằng đẳng đúng, dấu "=" khi x = y
ad: P = (x+1/x)² + (y+1/y)² ≥ [x+1/x + y+1/y]²/2 = [(x+y) + (x+y)/xy]²/2 (*)
bđt côsi: 1 = x+y ≥ 2√(xy) => 1 ≥ 4xy => 1/xy ≥ 4
thay vào (*): P ≥ [1 + 1/xy]²/2 ≥ [1 + 4]²/2 = 25/2 (đpcm), dấu "=" khi x = y = 1/2
AD
25 tháng 2 2020
Đặt \(P=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:
\(\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)\right]^2\)
\(\Leftrightarrow2P\ge\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2\)(1)
Ta có BĐT:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)( bạn tự CM = cách chuyển vế nhé )
Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương x,y ta có:
\(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(2P\ge25\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)
LQ
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 6 2020
Điều kiện là a;b;c dương:
Trước hết ta chứng minh: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(bx^2+ay^2\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow abx^2+aby^2+b^2x^2+a^2y^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)
\(\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2-2abxy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Do đó:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
KQ
1
G
2 tháng 7 2019
Ta có:\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng) \(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(1)
Mặt khác: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng) \(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Cách 1:
\(x^2+y^2=\frac{x^2+y^2+x^2+y^2}{2}=\frac{(x^2+y^2+2xy)+\left(x^2+y^2-2xy\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y^2\right)+\left(x-y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y^2\right)}{2}\)vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Cách 2: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)
Do đó \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)là BĐT đúng