S
4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KB
20 tháng 3 2019
a ) Ta có : \(\left(ab+1\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab+1-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow ab=1\)
b ) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
\(\left(ab+1.2\right)^2\le\left(a^2+1^2\right)\left(b^2+2^2\right)=\left(a^2+1\right)\left(b^2+4\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2a=b\)
c ) Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm , ta có :
\(4a^2+b^2\ge2\sqrt{4a^2.b^2}=4ab\)
\(\Rightarrow2\left(4a^2+b^2\right)\ge4a^2+4ab+b^2=\left(2a+b\right)^2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2a=b\)
d ) \(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow x^5-x^4y-y^4x+y^5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\)
Vì x ; y > 0 => BĐT luôn đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
HT
3
A
6 tháng 11 2018
Cách 1 :
\(x^2+y^2=\frac{x^2+y^2+x^2+y^2}{2}=\frac{\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2+y^2-2xy\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) (vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Cách 2:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( BĐT đúng)
Do đó \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) là BĐT đúng.
T
6 tháng 11 2018
Thêm một cách khác:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
Ta có: \(x^2+y^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1}=\frac{y^2}{1}\) hay \(x^2=y^2\) hay \(x=y\)
25 tháng 5 2019
Áp dụng BĐT : ( a + b + c )2 \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )
Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)
đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)
ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)
25 tháng 5 2019
Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
Áp dụng ta được
\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)
Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))
Khi đó
\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1
Lưu ý
Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)
Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra
NN
28 tháng 4 2017
Ta xét hiệu \(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}-\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\)
\(=\frac{1}{9}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\) (Đúng)
Vậy \(\frac{x^2+y^2+z^2}{3}\ge\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Cách 1:
\(x^2+y^2=\frac{x^2+y^2+x^2+y^2}{2}=\frac{(x^2+y^2+2xy)+\left(x^2+y^2-2xy\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y^2\right)+\left(x-y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y^2\right)}{2}\)vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Cách 2: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)
Do đó \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)là BĐT đúng