Question

[Nguyễn Duy Thịnh]

Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\)+\(\frac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)\(\ge\)\(\frac{10}{3}\)

Answer 1

[Thanh Tùng DZ]

Áp dụng BĐT : ( a + b + c )² \(\ge\)3 ( ab + bc + ac )

Ta có : \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge\frac{3\left(xy+y+x\right)}{xy+y+x}=3\)

đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}=A\)

ta có : \(A+\frac{1}{A}=\frac{8A}{9}+\frac{A}{9}+\frac{1}{A}\ge\frac{8.3}{9}+2\sqrt{\frac{A}{9}.\frac{1}{A}}=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}=\frac{10}{3}\)

Answer 2

[Trần Phúc Khang]

Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

Áp dụng ta được

\(\left(x+y+1\right)^2\ge3\left(x+y+xy\right)\)=> \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+y+x}\ge3\)

Đặt \(\frac{\left(x+y+1\right)^2}{x+y+xy}=t\)(\(t\ge3\))

Khi đó

\(VT=t+\frac{1}{t}=\left(\frac{t}{9}+\frac{1}{t}\right)+\frac{8}{9}t\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}t=3\\x=y=1\end{cases}}\)=> x=y=1

Lưu ý 

Nhiều người sẽ nhầm \(VT\ge2\)

Khi đó dấu bằng \(\left(x+y+1\right)^2=xy+x+y\)không xảy ra