Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Leftrightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge1\)
mà \(x\left(y+z\right)\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{x\left(y+z\right)}\ge\frac{4}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{4}}=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{16}{16}=1\left(đpcm\right)\)
\(VT=\frac{\left(yz\right)^2}{x^2yz\left(y+z\right)}+\frac{\left(xz\right)^2}{zxy^2\left(x+z\right)}+\frac{\left(xy\right)^2}{xyz^2\left(x+y\right)}\)
\(VT=\frac{2\left(yz\right)^2}{xy+zx}+\frac{2\left(xz\right)^2}{xy+yz}+\frac{2\left(xy\right)^2}{xz+yz}\ge\frac{2\left(yz+xz+xy\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=xy+yz+zx\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\)
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
Điều kiện x;y >=1Ta có: \(\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{2}{\left(1+x\right)^2}+\frac{2}{\left(1+y\right)^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(1+x\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+1^2\right)=2\left(x^2+1\right)\\\left(1+y\right)^2\le2\left(y^2+1\right)\end{cases}}\)
Cần cm: \(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+2\right)\left(1+xy\right)\ge2\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+x^3y+y^2+y^3x+2+2xy\ge2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3+2xy-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)=\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng)
"=" khi x=y=1
Đề sai thì phải ah.
Với \(x=1;y=2\) ta có:
\(S=\frac{1}{\left(1+1\right)^2}+\frac{1}{\left(1+2\right)^2}\ge\frac{1}{1+1\cdot2}\)
\(S=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}\ge\frac{1}{3}\)
\(S=\frac{13}{36}\ge\frac{1}{3}\left(VL\right)\)