KQ
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
1 tháng 7 2019
Lời giải :
\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2abxy+b^2y^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
KQ
1
KN
2 tháng 7 2019
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(=c^2z^2+2bcyz+2acxz+b^2y^2+2abxy+a^2x^2\)
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)
\(\ge c^2z^2+2bcyz+2acxz+b^2y^2+2abxy+a^2x^2\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)
\(\ge2bcyz+2acxz+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2\)\(-2bcyz-2acxz-2abxy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2y^2-2abxy+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2acxz+c^2x^2\right)\)
\(+\left(b^2z^2-2bcyz+c^2y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)
(Điều trên đúng vì \(\hept{\begin{cases}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(az-cx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\end{cases}}\))
Vậy\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\) \(\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)
S
4
12 tháng 4 2019
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
A
12 tháng 4 2019
Cách 1:
\(x^2+y^2=\frac{x^2+y^2+x^2+y^2}{2}=\frac{(x^2+y^2+2xy)+\left(x^2+y^2-2xy\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y^2\right)+\left(x-y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y^2\right)}{2}\)vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Cách 2: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)
Do đó \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)là BĐT đúng
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 7 2018
Lời giải:
Có: \(x^4+y^4+z^2+1\geq 2x(xy^2-x+z+1)\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^2+1-2x^2y^2+2x^2-2xz-2x\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^4+y^4-2x^2y^2)+(z^2+x^2-2xz)+(x^2+1-2x)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-y^2)^2+(z-x)^2+(x-1)^2\geq 0\)
Điều trên luôn đúng do \((x^2-y^2)^2\geq 0; (z-x)^2\geq 0; (x-1)^2\geq 0\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=0\\ z-x=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ z=1\\ y=\pm 1\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 6 2020
Điều kiện là a;b;c dương:
Trước hết ta chứng minh: \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(bx^2+ay^2\right)\left(a+b\right)\ge ab\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow abx^2+aby^2+b^2x^2+a^2y^2\ge abx^2+aby^2+2abxy\)
\(\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2-2abxy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Do đó:
\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}+\frac{z^2}{c}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{a+b+c}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\)
N
11 tháng 10 2019
Dat \(A=\frac{x^4+y^4}{x^4-y^4}-\frac{xy}{x^2-y^2}+\frac{x+y}{2\left(x-y\right)}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4-2xy\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{2x^4-2y^4}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4+\left(x^2+y^2\right)\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]}{2x^4-2y^4}\)
\(=\frac{2x^4+2y^4+\left(x^2+y^2\right)^2}{2x^4-2y^4}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2x^4+x^4}{2x^4}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow P=2017A\ge2017.\frac{3}{2}=\frac{6051}{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(y=0\)
Ta có:\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng) \(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(1)
Mặt khác: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(đúng) \(\Rightarrow\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\ge2xy\) (2)
Từ (1) và (2) => đpcm