cho a>1,b>1.chung minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}< ab\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 7 2018
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương \(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\)ta có
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}\)\(=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
KN
19 tháng 10 2020
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{\left(b-1\right).1}+b.\sqrt{\left(a-1\right).1}\le a.\frac{b}{2}+b.\frac{a}{2}=ab\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2
20 tháng 10 2020
bạn ơi có nhầm lẫn j ko bạn
đề là C/M a\(\sqrt{b+1}\)+ b\(\sqrt{a-1}\)<= ab mà
sao bạn làm là a\(\sqrt{b-1}\)+ b\(\sqrt{a-1}\)
DT
2
TN
27 tháng 10 2016
Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(b-1+1\ge2\sqrt{b-1}\Leftrightarrow\frac{b}{2}\ge\sqrt{b-1}\)
\(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có: \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{b-1}}{b}+\dfrac{\sqrt{a-1}}{a}< 1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT\le\dfrac{\dfrac{b-1+1}{2}}{b}+\dfrac{\dfrac{a-1+1}{2}}{a}\)
\(=\dfrac{\dfrac{b}{2}}{b}+\dfrac{\dfrac{a}{2}}{a}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1=VP\)