Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\frac{ab}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{bc\sqrt{bc}}{b+c}\le\frac{bc}{2};\frac{ac\sqrt{ac}}{a+c}\le\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=Σ\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab+bc+ca}{2}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
b)Áp dụng tiếp AM-GM:
\(b\sqrt{a-1}\le\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
\(a\sqrt{b-1}\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(VT=b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab=VP\)
Khi \(a=b=1\)
\(a,\)Vì \(a< b\Rightarrow a-b< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)
Mà \(a,b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\left(đpcm\right)\)
\(b,\)Ta có:\(a\ge0;b>0\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)
Vì\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)(1)
Nhân hai vế của (1) với \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\).Mà theo cmt thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)nên khi nhân vào thì dấu của BPT (1) không đổi chiều
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2< 0\)
\(\Leftrightarrow a-b< 0\)
\(\Rightarrow a< 0\left(đpcm\right)\)
\(a,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\)( BĐT cô-si dạng engel)
\(\frac{4}{2+a+b}\le\frac{4}{2+2\sqrt{ab}}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}=VP\)(bđt tương đương)
vậy cả hai bđt dấu "=" xảy ra đồng thời
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}=\frac{1}{1+b}\\a=b=1\end{cases}}\)
vậy \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi \(a=b=1\)
\(b,\)\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi bđt cô -si không xảy ra dấu bằng
và bđt tương đương xảy ra dấu bằng
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}>\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}>\frac{4}{2+a+b}\\4+4\sqrt{ab}=4+2a+2b\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}4+a^2+b^2+4a+4b+2ab>4+4a+4a+4ab\\2\sqrt{ab}=a+b\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2>2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)
\(0>2ab\)
\(ab< 0\)
rồi chia ra từng TH
ra đc \(TH1:\hept{\begin{cases}a< 0\\b>0\end{cases}}\)
\(TH2:\hept{\begin{cases}a>0\\b< 0\end{cases}}\)
\(c,\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)khi và chỉ khi
bđt cô- si dạng engel lớn hơn hoặc bằng còn bđt tương đương thì dấu bằng xảy ra
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{4}{2+a+b}\\\frac{4}{2+a+b}=\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\a^2+b^2=0\end{cases}}\)
\(< =>0\ge2ab\)
vì đề bài cho \(a,b>0\)lên dấu bằng không xảy ra
vậy không có giá trị a,b nào thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\ge\frac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
câu d lập luận như các câu trên cậu làm nốt nha
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}=a\sqrt{\left(b-1\right).1}+b.\sqrt{\left(a-1\right).1}\le a.\frac{b}{2}+b.\frac{a}{2}=ab\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2
bạn ơi có nhầm lẫn j ko bạn
đề là C/M a\(\sqrt{b+1}\)+ b\(\sqrt{a-1}\)<= ab mà
sao bạn làm là a\(\sqrt{b-1}\)+ b\(\sqrt{a-1}\)