DT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LT
0
BC
2
2 tháng 11 2021
Áp dụng BĐT cosi cho 2 số dương
\(1=a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{2}\)
Mà \(\left(a+b\right)^2=1+2ab\le1+2\cdot\dfrac{1}{2}=2\Leftrightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski
\(\left(a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(1+b+1+a\right)=2+a+b\le2+\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\le\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\sqrt{\dfrac{1+b}{1+a}}\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
2 tháng 11 2021
Áp dụng BĐT Bunhicopski:
\(\left(a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\right)\le\left(a^2+b^2\right)\left(1+b+1+a\right)=a+b+2\left(1\right)\)
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab\)(BĐT Cauchy)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left(a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\right)^2\le2+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{1+b}+b\sqrt{1+a}\le\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
25 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 10 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\text{VT}^2\leq (a^2+b^2)(1+a+1+b)=a+b+2\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\((a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)=2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}\)
Do đó: $\text{VT}^2\leq 2+\sqrt{2}$
$\Rightarrow \text{VT}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018
Lời giải:
a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\).
Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\)
Ta có đpcm
b)
Áp dụng kết quả phần a:
\(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\)
\(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\)
\(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\)
.....
\(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\)
Do đó:
\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)
\(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 3 2022
\(2a^2+5b^2+2ab=1\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a+2b\right)^2=1\)
Đặt \(P=\dfrac{a-b}{a+2b+2}\Rightarrow P\left(a+2b\right)+2P=a-b\)
\(\Rightarrow2P=\left(a-b\right)-P\left(a+2b\right)\)
\(\Rightarrow4P^2=\left[\left(a-b\right)-P\left(a+2b\right)\right]^2\le\left(P^2+1\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(a+2b\right)^2\right]=P^2+1\)
\(\Rightarrow3P^2\le1\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le P\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
29 tháng 8 2019
\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}+\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le1\)
Áp dụng BĐT Cô-si :
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1\cdot\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{b-1}}{b}\le\frac{\frac{b}{2}}{b}=\frac{1}{2}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{\sqrt{a-1}}{a}\le\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
Áp dụng Bđt Cô-si ta có:
\(b-1+1\ge2\sqrt{b-1}\Leftrightarrow\frac{b}{2}\ge\sqrt{b-1}\)
\(\Leftrightarrow a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)
Tương tự ta có: \(b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
minh ko biet
tk nhe
xin do
bye