Chứng minh rằng:
Nếu {a>0; b>0 ; x,y \(\in\) R} thì \(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 11 2021
\(4,VT=-a+b+c-a+b-c+a-b-c=-a+b-c=-\left(a-b+c\right)=VP\\ 5,M=-a+b-b-c+a+c-a=-a\\ M>0\Rightarrow-a>0\Rightarrow a< 0\)
PT
1
CM
8 tháng 9 2019
Ta có: a b < a + c b + c
⇔ a(b + c) < (a + c)b
(vì a > 0, b > 0 và c > 0 ⇔ b + c > 0 và a + c > 0)
⇔ ab + ac < ab + bc
⇔ ac < bc ⇔ a < b (luôn đúng, theo gt)
PT
1
CM
23 tháng 10 2017
Áp dụng kết quả bài 5, ta có: 
⇒ ad < bc (1)
Cộng cả hai vế của (1) với ab ta có: ab + ad < ab + bc
hay a(b + d) < b.(a + c)
Cộng cả hai vế của (1) với cd ta có: ad + cd < bc + cd
Hay d(a + c) < c(b + d)
Vậy 
PT
1
CM
2 tháng 12 2017
Ta có: a b < c d ⇒ a d < b c n ê n
a b + a d < a b + b c ⇔ a ( b + d ) < b ( a + c ) ⇔ a b < a + c b + d
Mặt khác:
a d + c d < b c + d c ⇔ d ( a + c ) < c ( b + d ) ⇔ a + c b + d < c d
Từ (1) và (2): a b < a + c b + d < c d
NH
2
29 tháng 10 2021
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
29 tháng 10 2021
\(a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)
HN
1
20 tháng 8 2023
Ta có :
\(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac\)
mà theo đề bài \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-ab-bc-ac=0\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)^2=-\left(ab+bc+ac\right)=0\)
mà \(-\left(ab+bc+ac\right)\le0\)
\(\Rightarrow a=b=c=0\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Ta có:\(\dfrac{x^2}{a}+\dfrac{y^2}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)(1)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{bx^2+ay^2}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(bx2+ay2) \(\geq\) ab(x+y)2
\(\Leftrightarrow\) abx2+a2y2+b2x2+aby2 \(\geq\) ab(x2+2xy+y2)
\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 \(\geq\) abx2+2abxy+aby2
\(\Leftrightarrow\) abx2+(ay)2+(bx)2+aby2 -abx2-2abxy-aby2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2abxy+(bx)2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay)2-2(ay).(bx)+(bx)2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (ay-bx)2 \(\geq\) 0(2)
Ta có BĐT(2) luôn đúng nên suy ra BĐT(1) luôn đúng.
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=0.
Cho mình sửa dấu =
Dấu= xảy ra khi \(\begin{cases} x=y\\ a=b \end{cases}\)