Với a, b>0 , cmr :
1/a + 1/b >= 4/a+b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 4 2017
xét hiệu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
vì (a-b)2>=0
mà a,b>0 nên ab>0;a+b>0
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{ab}\ge0\)
hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{ab}\left(dpcm\right)\)
VL
1
27 tháng 6 2016
Áp dụng BĐT Shur ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\)\(\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}\)=\(\frac{4}{a+b}\)
Dấu = khi a=b
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
ET
0
CM
1
LA
24 tháng 4 2019
BĐT svac
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)
2 tháng 9 2019
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
2 tháng 9 2019
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
ND
17 tháng 7 2018
Ta có:
\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}\ge\dfrac{12}{a+b}\) (1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3a\left(a+b\right)+3b\left(a+b\right)-12ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2+3ab+3ab+3b^2-12ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3a^2+3b^2-6ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng)
Tương tự ta có:
\(\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\ge\dfrac{8}{b+c}\) (2)
\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{4}{c+a}\) (3)
Cộng vế (1) (2)(3) ta được:
\(\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{12}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{a}+\dfrac{5}{b}+\dfrac{3}{c}\ge4\left(\dfrac{3}{a+b}+\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)
Từ BĐT trên ,ta có:
\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a+b}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(a+b) \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) (a+b)2 \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2 +2ab+b2\(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab+b2-4ab \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) a2-2ab+b2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a-b)2 \(\geq\) 0 (luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Từ đó ta chứng minh được BĐT : \(\dfrac{1}{a}\) +\(\dfrac{1}{b}\)\(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\) (1)
\(\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) (2)
ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge\left(a-b\right)^2\) và \(\left(a-b\right)^2\ge4ab\)
nên \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (3)
từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) hay \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)(đpcm)