LT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
30 tháng 3 2017
Từ BĐT trên ,ta có:
\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a+b}{ab}\) \(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(a+b) \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) (a+b)2 \(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2 +2ab+b2\(\geq\) 4ab
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab+b2-4ab \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) a2-2ab+b2 \(\geq\) 0
\(\Leftrightarrow\) (a-b)2 \(\geq\) 0 (luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a=b
Từ đó ta chứng minh được BĐT : \(\dfrac{1}{a}\) +\(\dfrac{1}{b}\)\(\geq\) \(\dfrac{4}{a+b}\)
KT
31 tháng 3 2017
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\) (1)
\(\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) (2)
ta có:
\(\left(a+b\right)^2\ge\left(a-b\right)^2\) và \(\left(a-b\right)^2\ge4ab\)
nên \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) (3)
từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\dfrac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\) hay \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)(đpcm)
NN
1 tháng 4 2017
c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)
TH
1
UH
1
PA
7 tháng 8 2017
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\), ta có:
\(\dfrac{4}{2a+b+c}+\dfrac{4}{a+2b+c}+\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{c+b}+\dfrac{4}{a+c}+\dfrac{4}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{2}{a+b}+\dfrac{2}{a+c}+\dfrac{2}{b+c}\)
\(\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
20 tháng 6 2018
a, Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{(a+b)}{ab}\ge\frac{4}{(a+b)}\)
\(\Rightarrow(a+b)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow(a-b)^2\ge0(đpcm)\)
Mình để cho dấu lớn bằng để dễ hiểu nha bạn
c,Ta có : \(x^2-4x+5=(x^2-4x+4)+1=(x-2)^2+1\ge1\)
Dấu " = "xảy ra khi : \((x-2)^2=0\Rightarrow x=x-2=0\Rightarrow x=2\)
Rồi bạn tự suy ra.Mk chắc đúng không nữa nên bạn thông cảm
Còn câu b và d bạn tự làm nhé
Chúc bạn học tốt
20 tháng 6 2018
\(a,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)(luôn đúng vì a>0,b>0)
dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b
\(b,x+\frac{1}{x}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x-2+\frac{1}{x}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+1}{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)(luôn đúng)
dấu''='' xảy ra khi và chỉ khi x=1
áp dụng\(x+\frac{1}{x}\ge2\)(c/m trên) =>GTNN là 2
dấu ''='' xay ra khi và chỉ khi x=1
\(c,\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+1\ge1\)
=> GTNN là 1 tại x=2
\(d,\frac{-\left(x^2+4x+4+6\right)}{x^2+2018}=\frac{-\left(x+2\right)-6}{x^2+2018}< 0\)
vì -(x+2 )-6 <-6
LT
2
CB
7 tháng 2 2020
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)(Do a,b>0)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Đúng)
Vậy.....
CC
8 tháng 2 2020
Xét hiệu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
Vì \(a,b>0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab>0\\a+b>0\end{cases}}\Rightarrow ab\left(a+b\right)>0\)
mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\ge0\)
hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(đpcm\right)\)
xét hiệu \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{a+b}{ab}-\frac{4}{a+b}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}-\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
vì (a-b)2>=0
mà a,b>0 nên ab>0;a+b>0
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{ab}\ge0\)
hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{ab}\left(dpcm\right)\)