CMR a/b + b/a > 2 với a; b cùng dấu
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 11 2018
Câu 1
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\left(\frac{a}{b}+1\right)=\left(\frac{c}{d}+1\right)\left(=\right)\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\)
=> ĐPCM
Câu 2
Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=>\frac{b}{a}=\frac{d}{c}=>\left(\frac{b}{a}+1\right)=\left(\frac{d}{c}+1\right)\left(=\right)\frac{b+a}{a}=\frac{d+c}{c}=>\frac{a}{b+a}=\frac{c}{d+c}\)
=> ĐPCM
Câu 3
22 tháng 11 2018
Câu 3
Ta có \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)(=) (a+b).(c-d)=(a-b).(c+d)(=)ac-ad+bc-bd=ac+ad-bc-bd(=)-ad+bc=ad-bc(=) bc+bc=ad+ad(=)2bc=2ad(=)bc=ad=> \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
=> ĐPCM
Câu 4
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)
\(=>\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)
Ta có \(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\left(1\right)\)
Lại có \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+c^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
24 tháng 8 2021
Đề:CM `sqrt{a+b}+sqrt{a-b}<2sqrta(a>b>0)`
`<=>(sqrt{a+b}+sqrt{a-b})^2<4a`
`<=>a+b+a-b+2sqrt{a^2-b^2}<4a`
`<=>2sqrt{a^2-b^2}<2a`
`<=>sqrt{a^2-b^2}<a`
`<=>a^2-b^2<a^2` luôn đúng vì `b>0=>b^2>0=>a^2-b^2<a^2`
18 tháng 11 2015
(a + b)(a - b) = (a+b).a - (a + b).b =( a2 + ab) - (ab + b2) = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2
Vậy (a + b)(a - b) = a2 - b2 (đpcm)
NH
0
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
B
30 tháng 8 2023
Nếu a và b khác dấu thì bđt hiển nhiên đúng vì 1 vế ≥0 và 1 vế ≤0
Nếu a và b cùng dấu => \(\dfrac{a^2}{b^2}\)+\(\dfrac{b^2}{a^2}\)<=>a4+b4≥ab3+a3b(nhân 2 vế với số dương ab)<=> a4+b4≥ab(a2+b2) (*)
ta có (x-y)2≥0 <=> x2+y2≥2xy <=> 2(x2+y2)≥ x2+2xy+y2=(x+y)2
áp dụng bđt trên
=> 2(a4+b4):2≥\(\dfrac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)≥\(\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}\)(bđt cô si)<=>a4+b4≥ab3+a3b(đpcm)
2 tháng 9 2019
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
2 tháng 9 2019
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
N
1
TL
9 tháng 7 2017
Biến đổi tương đương ta có
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4-a^3b-ab^3}{a^2b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2+2a^2b^2-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2-ab\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)^2-ab\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+b\right)^2-ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (Luôn đúng)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2+b^2}{ab}-2=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\)lớn hơn 0 nênđiều kia đúng