Cho a,b,c \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)\(\inℚ\). CMR \(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\inℚ\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
14 tháng 6 2019
Ta có: \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right).\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}-\frac{2}{bc}\)
\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(1)
Mặt khác \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2.\frac{c+b-a}{abc}\)
\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)(vì a=b+c) (2)
Từ (1) và (2) Suy ra
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|.\)
Do a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\)là một số hữu tỉ
Từ đây ta có điều phải chứng minh
16 tháng 7 2016
Bạn tham khảo ở đây : http://olm.vn/hoi-dap/question/633314.html
18 tháng 6 2019
a) \(a+b\ge2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
b) \(a+b+c\ge\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{a}\cdot\sqrt{c}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b+2c-2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}-2\sqrt{a}\cdot\sqrt{c}-2\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
9 tháng 11 2018
Đề như này đúng ko \(3\le\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}< 3+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)
Dấu \("\ge"\) thứ 2 dấu "=" ko xảy ra
Đặt \(A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{b}\right)\left(1+\sqrt{c}\right)}{\left(1+\sqrt{b}\right)\left(1+\sqrt{c}\right)\left(1+\sqrt{a}\right)}}=3\) \(\left(1\right)\)
CM : \(\frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}< 1+\sqrt{x}\) ( với a, b nguyên dương )
\(\Leftrightarrow\)\(\left(1+\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{y}\right)-\left(1+\sqrt{x}\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(1+\sqrt{x}\right)\sqrt{y}>0\) ( luôn đúng với mọi a, b nguyên dương )
\(\Rightarrow\)\(A< 1+\sqrt{a}+1+\sqrt{b}+1+\sqrt{c}=3+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(3\le\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}< 3+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) ( đpcm )
Chúc bạn học tốt ~
26 tháng 8 2021
`sqrta+sqrtb+sqrtc=2`
`<=>(sqrta+sqrtb+sqrtc)^2=4`
`<=>a+b+c+2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4`
`<=>2sqrt{ab}+2sqrt{bc}+2sqrt{ca}=4-(a+b+c)=4-2-2`
`<=>sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=1`
`=>a+1=a+sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}=sqrta(sqrta+sqrtb)+sqrtc(sqrta+sqrtb)=(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)`
Tương tự:`b+1=(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)`
`c+1=(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)`
`=>VT=sqrta/((sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc))+sqrtb/((sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc))+sqrtc/((sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb))`
`=>VT=(sqrta(sqrtb+sqrtc)+sqrtb(sqrtc+sqrta)+sqrtc(sqrta+sqrtb))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc}+sqrt{ab}+sqrt{ac}+sqrt{bc})/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=(2(sqrt{ab}+sqrt{bc}+sqrt{ca}))/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/((sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta))`
`=2/\sqrt{[(sqrta+sqrtb)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)]^2}`
`=2/\sqrt{(sqrta+sqrtb)(sqrta+sqrtc)(sqrtb+sqrta)(sqrtb+sqrtc)(sqrtc+sqrta)(sqrtc+sqrtb)}`
`=2/\sqrt{(1+a)(1+b)(1+c)}=>đpcm`
DH
26 tháng 8 2021
a ơi giả thiết là a+b+c=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)=2 nhé a