Question

[Nguyễn Minh Vũ]

\(Cho\)\(a,b,c\ne0,\inℚ\)và \(a=b+c\)

\(CMR:\)\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\inℚ\)​​

Answer 1

[Đào Thu Hoà]

Ta có: \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right).\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}-\frac{2}{ab}-\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{ac}-\frac{2}{bc}\)

\(=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)(1)

Mặt khác \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{1}{bc}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+2.\frac{c+b-a}{abc}\)

\(=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)(vì a=b+c)      (2) 

Từ (1) và (2) Suy ra 

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|.\)

Do a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 nên \(|\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}|\)là một số hữu tỉ 

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Answer 2

[Nguyễn Minh Vũ]

Cảm ơn bạn nhiều nha