Question

[Lê Thanh Nhàn]

Cho hình chữ nhật ABCD ; sin góc DAC = 0,8 ; AD = 42 cm , kẻ CE ⊥ BD và DF ⊥ AC

a) AC cắt BD ở O , tính sin góc AOD

b) Chứng minh tứ giác CEFD là hình thang cân và tính diện tích của nó

c) Kẻ AG ⊥ BD và BH ⊥ AC , chứng minh tứ giác EFGH là hình chữ nhật và tính diện tích của nó

Câu này mk thấy trên câu hỏi tương tự có rồi nhưng mk thấy nó cứ bị rối rối nên các bn giúp mk lm lại dễ hiểu xíu nha, mà có cách khác thì lm cách khác

Answer 1

[@Nk>↑@]

Hình bạn tự vẽ nha, cảm ơn

a)Xét \(\Delta ADF\) vuông tại F, có:

\(DF=\sin DAF.AD=0,8.42=33,6\left(cm\right)\)

\(\sin DAC=0,8\Rightarrow\cos DAC=\sqrt{1-\sin^2DAC}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6\)

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại D, có:

\(AC=\frac{AD}{\cos DAC}=\frac{42}{0,6}=70\left(cm\right)\)

Mà \(OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow OD=\frac{1}{2}.70=35\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ODF\) vuông tại F, có:

\(\sin AOD=\frac{DF}{OD}=\frac{33,6}{35}=0,96\)

b)Ta có: \(\Delta ADF=\Delta BCE\), vì:\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AFD}=\widehat{BEC}=90^o\\AD=BC\left(ABCD,la,hinhchunhat\right)\\\widehat{DAF}=\widehat{CBE}\left(\Delta ADC=\Delta BCD\right)\end{matrix}\right.\)

*2 tam giác ADC và BCD bằng nhau thì bạn tự chứng minh trường hợp c.c.c nha

\(\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{BCE}\)

\(\Rightarrow\widehat{FDC}=\widehat{ECD}\)

Xét 2 tam giác vuông: DCF và CDE, có:

\(DC:chung\)

\(\widehat{FDC}=\widehat{ECD}\left(cmt\right)\)

Do đó: \(\Delta DCF=\Delta CDE\left(c.h-g.n\right)\)

\(\Rightarrow DE=CF\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}DE=OE+OD;CF=OF+OC\\OD=OC\left(ABCD,la,hinhchunhat\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OE=OF\)

\(\Rightarrow\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OC}\)

\(\Rightarrow\)EF//CD

Mà \(\widehat{CDF}=\widehat{DCE}\left(cmt\right)\)

Do đó: \(CEFD\) là hình thang cân

Ta cũng có:\(\cos AOD=\sqrt{1-\sin^2AOD}=\sqrt{1-0,9216}=\sqrt{0,0784}=0,28\)

\(\Rightarrow OF=\cos AOD.OD=0,28.35=9,8\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow CF=OF+OC=OF+OD=9,8+35=44,8\left(cm\right)\)

Có tiếp: \(CD=\sin DAC.AC=0,8.70=56\left(cm\right)\)

Kẻ \(FI\perp CD\left(I\in CD\right)\)

thì \(FI.CD=DF.CF\Rightarrow FI=\frac{DF.CF}{CD}=\frac{33,6.44,8}{56}=26,88\left(cm\right)\)

Có nữa: \(\frac{EF}{CD}=\frac{OF}{OC}=\frac{9,8}{35}=\frac{7}{25}\Rightarrow EF=\frac{7}{25}CD=\frac{7}{25}.56=15,68\left(cm\right)\)

\(S_{CEFD}=\frac{1}{2}\left(EF+CD\right).FI=\frac{1}{2}\left(15,68+56\right).26,88=963,3792\left(cm^2\right)\)

c)Ta có: \(AG=DF\)(vì \(\Delta OAD\) cân tại A và AG và DF là 2 đường cao tương ứng với 2 góc ở đáy)

Xét \(\Delta OAG\) và \(\Delta ODF\), có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AOD}:chung\\AG=DF\left(cmt\right)\\\widehat{AGO}=\widehat{DFO}=90^o\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta OAG=\Delta ODF\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow OG=OF\)

Tương tự, ta có:\(OE=OH\)

mà \(OE=OF\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE+OG=OF+OH\\OE=OF=OG=OH\end{matrix}\right.hay\left\{{}\begin{matrix}EG=FH\\OE=OF=OG=OH\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow EFGH\:\) là hình chữ nhật(2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Vì OF=OG(cmt) nên \(\Delta OGF\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OGF}=\frac{180^o-\widehat{O}}{2}\)

Mà \(\widehat{ODA}=\frac{180^o-\widehat{O}}{2}\left(\Delta OAD,can,tai,O\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OGF}=\widehat{ODA}\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên GF//AD

\(\Rightarrow\frac{GF}{AD}=\frac{OF}{OA}=\frac{OF}{OD}=\frac{9,8}{35}=\frac{7}{25}\Rightarrow GF=\frac{7}{25}AD=\frac{7}{25}.42=11,76\left(cm\right)\)

\(S_{EFGH\: }=EF.GF=15,68.11,76=184,3968\left(cm^2\right)\)

*Nhớ xem kĩ lại nha, bài này dài quá nên mình không đảm bảo chắc chắn đúng và có chỗ sai nhớ nhắc mình nha

*Bài này rèn cho tớ tính kiên trì, nhẫn nại, làm cho đầu óc logic, iq tăng vượt trội,... và còn cả việc đánh máy với tốc độ ánh sáng nữa nên mình rất cảm ơn bạn :DDLê Thanh Nhàn

Answer 2

[Lê Thanh Nhàn]

@Lê Thị Thục Hiền

@Nguyễn Việt Lâm