Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Xét ΔADC vuông tại D có
\(\sin\widehat{DAC}=\dfrac{DC}{AC}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{DC}{AC}=\dfrac{4}{5}\)
nên \(DC=\dfrac{4}{5}AC\)
Áp dụng định lí Pytago vào ΔACD vuông tại D, ta được:
\(AC^2=AD^2+CD^2\)
\(\Leftrightarrow AC^2=42^2+\left(\dfrac{4}{5}AC\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{25}AC^2=1764\)
\(\Leftrightarrow AC^2=4900\)
hay AC=70(cm)
Ta có: \(DC=\dfrac{4}{5}AC\)(cmt)
nên \(DC=\dfrac{4}{5}\cdot70=56\left(cm\right)\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại D có DF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(DF\cdot AC=AD\cdot DC\)
\(\Leftrightarrow DF\cdot70=42\cdot56=2352\)
hay DF=33,6(cm)
Ta có: ABCD là hình chữ nhật(gt)
mà O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD(gt)
nên \(DO=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)
hay \(DO=\dfrac{70}{2}=35\left(cm\right)\)
Xét ΔDFO vuông tại F có
\(\sin\widehat{DOF}=\dfrac{DF}{DO}=\dfrac{33.6}{35}=\dfrac{24}{25}\)
hay \(\sin\widehat{AOD}=\dfrac{24}{25}\)
b) Xét ΔDFO vuông tại F và ΔCEO vuông tại E có
OD=OC(cmt)
\(\widehat{FOD}=\widehat{EOC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDFO=ΔCEO(Cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: OF=OE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔOAB có
\(\dfrac{OF}{OA}=\dfrac{OE}{OB}\left(OF=OE;OA=OB\right)\)
nên FE//AB(Định lí Ta lét đảo)
mà AB//DC(gt)
nên FE//DC
Ta có: OE+OD=ED(O nằm giữa E và D)
OF+OC=FC(O nằm giữa F và C)
mà OE=OF(cmt)
và OD=OC(cmt)
nên ED=FC
Xét tứ giác CEFD có FE//CD(cmt)
nên CEFD là hình thang có hai đáy là FE và CD(Định nghĩa hình thang)
Hình thang CEFD(FE//CD) có ED=FC(cmt)
nên CEFD là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Xét ΔDFO vuông tại F và ΔCEO vuông tại E có
OD=OC(cmt)
\(\widehat{FOD}=\widehat{EOC}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔDFO=ΔCEO(Cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: OF=OE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔOAB có
\(\dfrac{OF}{OA}=\dfrac{OE}{OB}\left(OF=OE;OA=OB\right)\)
nên FE//AB(Định lí Ta lét đảo)
mà AB//DC(gt)
nên FE//DC
Ta có: OE+OD=ED(O nằm giữa E và D)
OF+OC=FC(O nằm giữa F và C)
mà OE=OF(cmt)
và OD=OC(cmt)
nên ED=FC
Xét tứ giác CEFD có FE//CD(cmt)
nên CEFD là hình thang có hai đáy là FE và CD(Định nghĩa hình thang)
Hình thang CEFD(FE//CD) có ED=FC(cmt)
nên CEFD là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
\(cos\widehat{DAC}=\sqrt{1-sin^2\widehat{DAC}}=\frac{3}{5}\Rightarrow AC=\frac{AD}{cos\widehat{DAC}}=70\)
\(CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=56\)
Trong tam giác vuông ADC với đường cao DF áp dụng hệ thức lượng:
\(\frac{1}{DF^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{CD^2}\Rightarrow DF=33,6\)
\(OD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AC=35\)
\(\Rightarrow sin\widehat{AOD}=\frac{DF}{OD}=0,96\)
b/ \(\frac{1}{CE^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{CD^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{DF^2}\Rightarrow CE=DF=33,6\) (1)
\(cos\widehat{AOD}=\sqrt{1-sin^2\widehat{AOD}}=0,28\)
\(\Rightarrow OF=OD.cos\widehat{AOD}=35.0,26=9,1\)
\(OE=OC.cos\widehat{BOC}=OC.cos\widehat{AOD}=35.0,26=9,1\)
\(\Rightarrow\frac{OF}{OC}=\frac{OE}{OD}=\frac{9,1}{35}\Rightarrow EF||CD\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow CEFD\) là hình thang cân
\(\frac{EF}{CD}=\frac{OF}{OC}=\frac{9,1}{35}\Rightarrow EF=\frac{9,1.CD}{35}=14,56\)
Kẻ \(EK\perp CD\Rightarrow\frac{1}{EK^2}=\frac{1}{ED^2}+\frac{1}{EC^2}\Rightarrow EK=\frac{ED.EC}{\sqrt{ED^2+EC^2}}=\frac{ED.EC}{CD}=26,46\)
\(\Rightarrow S_{CEFD}=\frac{1}{2}\left(EF+CD\right).EK=...\)
c/ \(\Delta OAD\) cân tại O (t/c hình chữ nhật) \(\Rightarrow AG=DF\) (2 đường cao xuất phát từ 2 góc đáy)
\(\Rightarrow\Delta_vODF=\Delta_vOAG\Rightarrow OF=OG\)
Tương tự ta có \(OE=OH\), mà \(OF=OE\Rightarrow OF=OE=OG=OH\)
\(\Rightarrow EFGH\) là hình chữ nhật (tứ giác có 2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Áp dụng Talet: \(\frac{FG}{AD}=\frac{OF}{OA}\Rightarrow FG=\frac{AD.OF}{OA}=...\Rightarrow S_{EFGH}=EF.FG=...\)
Câu 2:
a: sin DAC=0,8 nên cos DAC=0,6
=>AD/AC=3/5
=>AC=70mm=7cm
=>DC=5,6cm
\(DF=\dfrac{4.2\cdot5.6}{7}=3.36\left(cm\right)\)
sin AOD=sin DOF=DF/DO=3,36/3,5=24/25
b: Xét ΔOFD vuông tại F và ΔOEC vuông tại E có
OD=OC
góc DOF=góc COE
Do đó: ΔOFD=ΔOEC
=>OF=OE
Vì OF/OA=OE/OB
nên FE//AB
=>FE//DC
OF=OE
OC=OD
=>FC=DE
=>FECD là hình thang cân
Hình bạn tự vẽ nha, cảm ơn
a)Xét \(\Delta ADF\) vuông tại F, có:
\(DF=\sin DAF.AD=0,8.42=33,6\left(cm\right)\)
\(\sin DAC=0,8\Rightarrow\cos DAC=\sqrt{1-\sin^2DAC}=\sqrt{1-0,64}=\sqrt{0,36}=0,6\)
Xét \(\Delta ADC\) vuông tại D, có:
\(AC=\frac{AD}{\cos DAC}=\frac{42}{0,6}=70\left(cm\right)\)
Mà \(OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AC\)
\(\Rightarrow OD=\frac{1}{2}.70=35\left(cm\right)\)
Xét \(\Delta ODF\) vuông tại F, có:
\(\sin AOD=\frac{DF}{OD}=\frac{33,6}{35}=0,96\)
b)Ta có: \(\Delta ADF=\Delta BCE\), vì:\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AFD}=\widehat{BEC}=90^o\\AD=BC\left(ABCD,la,hinhchunhat\right)\\\widehat{DAF}=\widehat{CBE}\left(\Delta ADC=\Delta BCD\right)\end{matrix}\right.\)
*2 tam giác ADC và BCD bằng nhau thì bạn tự chứng minh trường hợp c.c.c nha
\(\Rightarrow\widehat{ADF}=\widehat{BCE}\)
\(\Rightarrow\widehat{FDC}=\widehat{ECD}\)
Xét 2 tam giác vuông: DCF và CDE, có:
\(DC:chung\)
\(\widehat{FDC}=\widehat{ECD}\left(cmt\right)\)
Do đó: \(\Delta DCF=\Delta CDE\left(c.h-g.n\right)\)
\(\Rightarrow DE=CF\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}DE=OE+OD;CF=OF+OC\\OD=OC\left(ABCD,la,hinhchunhat\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow OE=OF\)
\(\Rightarrow\frac{OE}{OD}=\frac{OF}{OC}\)
\(\Rightarrow\)EF//CD
Mà \(\widehat{CDF}=\widehat{DCE}\left(cmt\right)\)
Do đó: \(CEFD\) là hình thang cân
Ta cũng có:\(\cos AOD=\sqrt{1-\sin^2AOD}=\sqrt{1-0,9216}=\sqrt{0,0784}=0,28\)
\(\Rightarrow OF=\cos AOD.OD=0,28.35=9,8\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow CF=OF+OC=OF+OD=9,8+35=44,8\left(cm\right)\)
Có tiếp: \(CD=\sin DAC.AC=0,8.70=56\left(cm\right)\)
Kẻ \(FI\perp CD\left(I\in CD\right)\)
thì \(FI.CD=DF.CF\Rightarrow FI=\frac{DF.CF}{CD}=\frac{33,6.44,8}{56}=26,88\left(cm\right)\)
Có nữa: \(\frac{EF}{CD}=\frac{OF}{OC}=\frac{9,8}{35}=\frac{7}{25}\Rightarrow EF=\frac{7}{25}CD=\frac{7}{25}.56=15,68\left(cm\right)\)
\(S_{CEFD}=\frac{1}{2}\left(EF+CD\right).FI=\frac{1}{2}\left(15,68+56\right).26,88=963,3792\left(cm^2\right)\)
c)Ta có: \(AG=DF\)(vì \(\Delta OAD\) cân tại A và AG và DF là 2 đường cao tương ứng với 2 góc ở đáy)
Xét \(\Delta OAG\) và \(\Delta ODF\), có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AOD}:chung\\AG=DF\left(cmt\right)\\\widehat{AGO}=\widehat{DFO}=90^o\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta OAG=\Delta ODF\left(g.c.g\right)\)
\(\Rightarrow OG=OF\)
Tương tự, ta có:\(OE=OH\)
mà \(OE=OF\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OE+OG=OF+OH\\OE=OF=OG=OH\end{matrix}\right.hay\left\{{}\begin{matrix}EG=FH\\OE=OF=OG=OH\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow EFGH\:\) là hình chữ nhật(2 đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)
Vì OF=OG(cmt) nên \(\Delta OGF\) cân tại O
\(\Rightarrow\widehat{OGF}=\frac{180^o-\widehat{O}}{2}\)
Mà \(\widehat{ODA}=\frac{180^o-\widehat{O}}{2}\left(\Delta OAD,can,tai,O\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{OGF}=\widehat{ODA}\) mà hai góc ở vị trí so le trong nên GF//AD
\(\Rightarrow\frac{GF}{AD}=\frac{OF}{OA}=\frac{OF}{OD}=\frac{9,8}{35}=\frac{7}{25}\Rightarrow GF=\frac{7}{25}AD=\frac{7}{25}.42=11,76\left(cm\right)\)
\(S_{EFGH\: }=EF.GF=15,68.11,76=184,3968\left(cm^2\right)\)
*Nhớ xem kĩ lại nha, bài này dài quá nên mình không đảm bảo chắc chắn đúng và có chỗ sai nhớ nhắc mình nha
*Bài này rèn cho tớ tính kiên trì, nhẫn nại, làm cho đầu óc logic, iq tăng vượt trội,... và còn cả việc đánh máy với tốc độ ánh sáng nữa nên mình rất cảm ơn bạn :DDLê Thanh Nhàn
@Lê Thị Thục Hiền
@Nguyễn Việt Lâm