Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Thật may câu này tương tự câu cuối trong đề thi HSG 9 tỉnh mình năm 2021-2022 nên biết làm :)) (bài lúc đó y chang thế này chỉ khác là số 2021 với 2022)
Trước tiên ta sẽ chứng minh \(P\left(P\left(x\right)+x\right)=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\). Thật vậy, ta có:
\(VP=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x+1\right)^2+m\left(x+1\right)+n\right]\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left(x^2+2x+1+mx+m+n\right)\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)\left[\left(x^2+mx+n\right)+2x+m+1\right]\)
\(=\left(x^2+mx+n\right)^2+2x\left(x^2+mx+n\right)+m\left(x^2+mx+n\right)+x^2+mx+n\)
\(=\left[\left(x^2+mx+n\right)+x\right]^2+m\left(x^2+mx+n+x\right)+n\)
\(=\left[P\left(x\right)+x\right]^2+m\left[P\left(x\right)+x\right]+n\)
\(=P\left(P\left(x\right)+x\right)=VT\)
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Từ \(P\left(P\left(x\right)+x\right)=P\left(x\right)P\left(x+1\right)\), chọn \(x=2023\), ta được:
\(P\left(P\left(2023\right)+2023\right)=P\left(2023\right)P\left(2024\right)\)
\(\Rightarrow Q\left(x\right)\) có nghiệm nguyên là \(x=P\left(2023\right)+2023\) (đpcm)
\(x=\sqrt{\dfrac{2\sqrt{3}+2-6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}+2\right)}}=\sqrt{\dfrac{2-4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}+2\right)}}\) ko tồn tại vì 2-4căn 3<0
\(\sqrt{2023+2025}=\sqrt{2.2024}\)
\(2\sqrt{2024}=\sqrt{4.2024}\)
\(\sqrt{2.2024}< \sqrt{4.2024}\)
=> \(\sqrt{2023+2025}< 2.\sqrt{2024}\)
\(\sqrt{2023+2025}=\sqrt{2.2024}\\ 2\sqrt{2024}=\sqrt{4.2024}\\ \sqrt{2.2024}< \sqrt{4.2024}\\ \Rightarrow\sqrt{2023+2025< 2.\sqrt{2024}}\)
\(A>\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}\)
\(\Rightarrow2A>\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2024}+\sqrt{2025}}\)
\(\Rightarrow2A>\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{2025}-\sqrt{2024}\)
\(\Rightarrow2A>\sqrt{2025}-\sqrt{1}=44\)
\(\Rightarrow A>22\) (đpcm)
Ta có: \(a^2\left(a+1\right)-b^2\left(b-1\right)-11ab+2024\) (1)
Lại có: \(a-b=\sqrt{29+12\sqrt{5}}-2\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2+2\cdot2\sqrt{5}\cdot3+3^2}-2\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{\left(2\sqrt{5}+3\right)^2}-2\sqrt{5}\)
\(=2\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}\)
\(=3\)
\(\Rightarrow a=b+3\)
Thay \(a=b+3\) vào (1), ta được:
\(\left(b+3\right)^2\left(b+3+1\right)-b^2\left(b-1\right)-11\left(b+3\right)b+2024\)
\(=\left(b^2+6b+9\right)\left(b+4\right)-b^3+b^2-11b^2-33b+2024\)
\(=b\left(b^2+6b+9\right)+4\left(b^2+6b+9\right)-b^3-10b^2-33b+2024\)
\(=b^3+6b^2+9b+4b^2+24b+36-b^3-10b^2-33b+2024\)
\(=\left(b^3-b^3\right)+\left(6b^2+4b^2-10b^2\right)+\left(9b+24b-33b\right)+\left(2024+36\right)\)
\(=2060\)
$\Rightarrow$ Chọn đáp án $C$.
Ta có : \(a-b=\sqrt{29+12\sqrt{5}}-2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow a-b=\sqrt{20+12\sqrt{5}+9}-2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow a-b=\sqrt{\left(2\sqrt{5}+3\right)^2}-2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow a-b=2\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow a-b=3\)
Xét biểu thức : \(a^2\left(a+1\right)-b^2\left(b-1\right)-11ab+2024\)
\(=a^3+a^2-b^3+b^2-11ab+2024\)
\(=a^3-b^3+a^2+b^2-2ab-9ab+2024\)
\(=a^3-b^3-9ab+a^2-2ab+b^2+2024\)
\(=a^3-3ab\left(a-b\right)-b^3+\left(a-b\right)^2+2024\) vì \(a-b=3\)
\(=\left(a-b\right)^3+\left(a-b\right)^2+2024\)
\(=3^3+3^2+2024\)
\(=2060\)
\(\Rightarrow C\)
Để tính (x+y)2023, ta sẽ sử dụng công thức nhân đa thức. Trước tiên, ta mở đuôi công thức:(x+y)2023 = (x+y)(x+y)(x+y)...(x+y)Từ phép nhân đầu tiên, ta có:(x+y)(x+y) = x^2 + 2xy + y^2Tiếp tục nhân với (x+y), ta có:(x^2 + 2xy + y^2)(x+y) = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3Lặp lại quá trình này 2020 lần nữa, ta có:(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)(x+y) = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4Tiếp tục nhân với (x+y), ta có:(x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4)(x+y) = x^5 + 5x^4y + 10x^3