Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C O D E H I F
a) Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta ABD\)có :
\(\widehat{BAE}=\widehat{BAD}\); \(\widehat{ABE}=\widehat{BDE}\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\approx\Delta ADB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow AD.AE=AB^2\)( 1 )
Xét \(\Delta ABO\)vuông tại B ( do AB là tiếp tuyến ), đường cao BH ( tự c/m ), ta có hệ thức lượng
\(AH.AO=AB^2\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(AD.AE=AH.AO=AB^2\)
b) \(AD.AE=AH.AO\Rightarrow\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AD}\)
Xét \(\Delta AEH\)và \(\Delta AOD\)có :
\(\frac{AE}{AH}=\frac{AO}{AD}\); \(\widehat{EAH}\)( chung )
\(\Rightarrow\Delta AEH\approx\Delta AOD\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ADO}\)( 3 )
Mà \(\Delta ODE\)cân tại O ( do OE = OD ) \(\Rightarrow\widehat{OED}=\widehat{ODE}\)( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra \(\widehat{AHE}=\widehat{OED}\)
c) đường thẳng qua B vuông góc với CD tại I
Xét hai tam giác vuông BID và CBI có :
\(\widehat{IDB}=\widehat{CBI}\); \(\widehat{BID}=\widehat{BIC}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta BID\approx\Delta CIB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\frac{ID}{IB}=\frac{IB}{IC}=\frac{DB}{BC}\)
\(\Rightarrow\frac{ID}{IB}.\frac{IB}{IC}=\frac{ID}{IC}=\frac{BD^2}{BC^2}\)
Mặt khác : \(\Delta DAC\)có : BI // AC
\(\Rightarrow\frac{FI}{AC}=\frac{DI}{DC}=\frac{DI}{DI+CI}=\frac{1}{1+\frac{CI}{DI}}=\frac{1}{1+\frac{BC^2}{BD^2}}=\frac{BD^2}{BD^2+BC^2}=\frac{BD^2}{4R^2}\)( R là bán kính )
\(\Rightarrow FI=\frac{BD^2.AC}{4R^2}\)( 5 )
Xét \(\Delta BCD\)và \(\Delta ACO\)có :
\(\widehat{BCD}=\widehat{OAC}\); \(\widehat{CBD}=\widehat{ACO}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta BCD\approx\Delta CAO\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{OC}\Rightarrow BC=\frac{AC.BD}{R}\)( 6 )
Xét 2 tam giác vuông BIC và BCD có :
\(\widehat{BCD}\)( chung ) ; \(\widehat{BIC}=\widehat{CBD}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta BIC\approx\Delta DBC\)( g.g )
\(\Rightarrow\frac{IB}{BD}=\frac{BC}{CD}\Rightarrow IB=\frac{BC.BD}{2R}\)( 7 )
Từ ( 6 ) và ( 7 ) suy ra : \(IB=\frac{AC.BD^2}{2R^2}\)( 8 )
Từ ( 5 ) và ( 8 ) suy ra : \(IF=\frac{IB}{2}\Rightarrow\)F là trung điểm của IB
\(\Rightarrow HF\)là đường trung bình của \(\Delta BCI\)\(\Rightarrow HF//CD\)
a) OB=OC (=R) VÀ AB=AC(/c 2 tt cắt nhau)\(\Rightarrow\)OA LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỤC CỦA BC. b) \(BD\perp AB\)(t/c tt) và BE \(\perp AC\)(A \(\varepsilon\left(O\right)\)đường kính BC ). Aps dụng hệ thúc lượng ta có AE*AC=AB\(^2\)=AC\(^2\).
c) c/m OD\(^2=OB^2=OH\cdot OA\)và OH*OA=OK*OF ( \(\Delta OAK\omega\Delta OFH\left(g-g\right)\))\(\Rightarrow\frac{OD}{OF}=\frac{OK}{OD}\)mà góc FOD chung\(\Rightarrow\Delta OKD\omega\Delta ODF\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ODF}=\widehat{OKD}=90\Rightarrow OD\perp DF\Rightarrowđpcm\)
Đường tròn c: Đường tròn qua B với tâm O Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [O, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [F, C] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [C, H] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [C, E] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [A, F] O = (1.42, 2.28) O = (1.42, 2.28) O = (1.42, 2.28) B = (5.54, 2.28) B = (5.54, 2.28) B = (5.54, 2.28) Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm H: Giao điểm đường của k, h Điểm H: Giao điểm đường của k, h Điểm H: Giao điểm đường của k, h Điểm M: Trung điểm của A, C Điểm M: Trung điểm của A, C Điểm M: Trung điểm của A, C Điểm N: Trung điểm của H, C Điểm N: Trung điểm của H, C Điểm N: Trung điểm của H, C Điểm F: Giao điểm đường của g, m Điểm F: Giao điểm đường của g, m Điểm F: Giao điểm đường của g, m Điểm E: Giao điểm đường của g, l Điểm E: Giao điểm đường của g, l Điểm E: Giao điểm đường của g, l
a) Ta thấy \(\widehat{ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn AB. Vậy nên \(\widehat{ACB}=\frac{sđ\widebat{AB}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\)
Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C.
b) Do M là trung điểm của dây cung AC. Theo tính chất đường kính, dây cung, ta có \(OM\perp AC\)
Xét tứ giác OMCH có \(\widehat{OMC}=\widehat{OHC}=90^o\) nên OMCH là tứ giác nội tiếp.
Đường tròn ngoại tiếp tứ giác trên có đường kinh là OC nên tâm I của đường tròn là trung điểm OC.
c) Xét tam giác vuông ABE có đường cao BC. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:
\(EC.EA=BE^2\)
Xét tam giác vuông BCE, theo định lý Pi-ta-go, ta có:
\(BE^2=OE^2-OB^2=OE^2-R^2\)
Vậy ta có ngay \(EC.EA=OE^2-R^2\)
d) Ta thấy CH // BE nên áp dụng định lý Talet ta có:
\(\frac{NH}{BF}=\frac{NC}{FE}\left(=\frac{AH}{AB}\right)\)
Lại có NH = HC nên BF = FE
Xét tam giác vuông BCE có CF là trung tuyến ứng vớ cạnh huyền nên FC = FB.
Vậy thì \(\Delta OCF=\Delta OBF\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OCF}=\widehat{OBF}=90^o\)
hay CF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
Đường tròn c: Đường tròn qua B_1 với tâm O Đường thẳng q: Tiếp tuyến của c qua A Đường thẳng q: Tiếp tuyến của c qua A Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [A, E] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [C, E] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [O, C] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [O, B] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [B, D] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [B, P] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [C, Q] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [P, Q] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [M, A] Đoạn thẳng k_1: Đoạn thẳng [O, M] O = (-0.28, -0.29) O = (-0.28, -0.29) O = (-0.28, -0.29) Điểm B: Điểm trên c Điểm B: Điểm trên c Điểm B: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm C: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm E: Giao điểm của f, g Điểm E: Giao điểm của f, g Điểm E: Giao điểm của f, g Điểm D: Giao điểm của c, h Điểm D: Giao điểm của c, h Điểm D: Giao điểm của c, h Điểm P: Giao điểm của r, s Điểm P: Giao điểm của r, s Điểm P: Giao điểm của r, s Điểm Q: Giao điểm của r, t Điểm Q: Giao điểm của r, t Điểm Q: Giao điểm của r, t Điểm M: Trung điểm của g_1 Điểm M: Trung điểm của g_1 Điểm M: Trung điểm của g_1 Điểm F: Giao điểm của e, d Điểm F: Giao điểm của e, d Điểm F: Giao điểm của e, d
a. Ta thấy ngay tứ giác OBEC có hai góc vuông đối nhau nên nó là tứ giác nội tiếp.
b. Câu này cô thấy cần sửa đề thành AB.AP = AD.AE mới đúng.
Gọi Aq là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Khi đó ta có: \(\widehat{APE}=\widehat{BAq}\) (so le trong)
Mà \(\widehat{BAq}=\widehat{BDA}\) (Cùng chắn cung BA) nên \(\widehat{APE}=\widehat{BDA}\)
Vậy thì \(\Delta ABD\sim\Delta AEP\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AP}\Rightarrow AB.AP=AE.AD\)
c. +) Ta thấy \(\Delta BDE\sim\Delta ABE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{AB}=\frac{BE}{AE}\)
Tương tự \(\Delta CDE\sim\Delta ACE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CD}{AC}=\frac{DE}{AE}\)
Mà BE = CE nên \(\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}\)
Lại có \(\Delta ABD\sim\Delta AEP\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{EP}=\frac{AB}{AE}\Rightarrow EP=\frac{BD.AE}{AB}\)
Tương tự \(\Delta ACD\sim\Delta AEQ\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AC}{AE}=\frac{CD}{EQ}\Rightarrow EQ=\frac{CD.AE}{AC}=\frac{BD.AE}{AB}=EP\)
Vậy EP = EQ.
+) Ta thấy ngay \(\Delta ABC\sim\Delta AQP\Rightarrow\frac{BC}{QP}=\frac{AC}{AP}\Rightarrow\frac{BC:2}{QP:2}=\frac{AC}{QP}\)
\(\Rightarrow\frac{MC}{PE}=\frac{AC}{AP}\)
Lại có \(\widehat{ACM}=\widehat{APE}\) (Cùng bằng \(\widehat{BDA}\))
Từ đó suy ra \(\Delta AMC\sim\Delta AEP\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{PAE}\)
d. Ta có BD.AC = AB.CD
Lại có do ABCD là tứ giác nội tiếp nên
AD.BC = AB.CD + AC.BD = 2AB.CD (Định lý Ptoleme) \(\Rightarrow2MC.AD=2AB.CD\Rightarrow MC.AD=AB.CD\)
\(\Rightarrow\frac{MC}{AB}=\frac{CD}{AD}\)
Lại thấy \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\Rightarrow\Delta BAD\sim\Delta MCD\left(c-g-c\right)\)
Mà \(\Delta BAD\sim\Delta MAC\Rightarrow\Delta MCD\sim\Delta MAC\)
\(\Rightarrow\frac{MC}{MA}=\frac{MD}{MC}\Rightarrow MA.MD=MC^2=\frac{BC^2}{4}.\)
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC
b: AO là đường trung trực của BC
=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE
\(\widehat{EDB}\) là góc nội tiếp chắn cung BE
Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{EDB}\)
Xét ΔABE và ΔADB có
\(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔADB
=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)
=>\(AB^2=AD\cdot AE\)
c: Xét (O) có
MB,ME là các tiếp tuyến
Do đó: MB=ME
Xét (O) có
NE,NC là các tiếp tuyến
Do đó: NE=NC
Chu vi tam giác AMN là:
\(AM+MN+AN\)
\(=AM+ME+EN+AN\)
\(=AM+MB+AN+NC\)
=AB+AC