Question

[DUTREND123456789]

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O;R) . Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh AO là đường trung trực BC
b) Vẽ đường kính CD của đường tròn (O) , AD cắt đường tròn (O) tại E. Chứng minh      \(AB^2=AE.AD\)

c) Tiếp tuyến E của đường tròn (O) cắt AB , AC lần lượt tại M và N . Chứng minh chu vi \(\Delta ANM=AB+AC\)

d) MN cắt AO tại I , EO cắt BC tại P . Chứng minh \(AE//IP\)

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của BC

b: AO là đường trung trực của BC

=>AO\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

\(\widehat{ABE}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BA và dây cung BE

\(\widehat{EDB}\) là góc nội tiếp chắn cung BE

Do đó: \(\widehat{ABE}=\widehat{EDB}\)

Xét ΔABE và ΔADB có

\(\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE đồng dạng với ΔADB

=>\(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}\)

=>\(AB^2=AD\cdot AE\)

c: Xét (O) có

MB,ME là các tiếp tuyến

Do đó: MB=ME

Xét (O) có

NE,NC là các tiếp tuyến

Do đó: NE=NC

Chu vi tam giác AMN là:

\(AM+MN+AN\)

\(=AM+ME+EN+AN\)

\(=AM+MB+AN+NC\)

=AB+AC