Question

[Rell]

Trong một mặt phẳng toạ độ xOy cho tam giác AC vuông tại A có đường cao AH: x- 3y-16=0 cắt đường phân giác BD tại K( \(D\in AC\)) , đường thẳng đi qua K song song với AC và cắt cạnh huyền BC tại E ( 3;-7), biết điểm D thuộc đường thẳng\(\Delta:x-y-12=0\)  và x_A>3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Hướng dẫn, hơi dài nên làm biếng giải chi tiết:

Kéo dài KE cắt AB tại F

BK là phân giác góc B nên hai tam giác vuông BKH và BKF bằng nhau (ch-gn)

\(\Rightarrow\widehat{BKF}=\widehat{BKE}\) \(\Rightarrow\widehat{BKA}=\widehat{BKE}\)

\(\Rightarrow\Delta BKA=\Delta BKE\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AK=EK\)

Lại có \(\widehat{BKF}=\widehat{BDA}\) (đồng vị) \(\Rightarrow\widehat{BDA}=\widehat{BKH}=\widehat{AKD}\)

\(\Rightarrow\Delta AKD\) cân tại A hay \(AK=AD\)

\(\Rightarrow AD=EK\Rightarrow ADEK\) là hình bình hành hay DE song song AK (hay AH)

BC vuông góc AH nên nhận (3;1) là 1 vtpt và đi qua E(3;-7) \(\Rightarrow\) pt BC

ED đi qua E(3;-7) và song song AH nên nhận (1;-3) là 1 vtpt \(\Rightarrow\) pt DE

\(\Rightarrow\) Tọa độ D (giao của DE và \(\Delta\))

ADEK là hbh (theo cmt) và có 2 cạnh kề AK=AD nên ADEK là hình thoi

\(\Rightarrow AD=DE\)

Biết tọa độ D, E \(\Rightarrow\) độ dài DE

A thuộc AH nên tọa độ A có dạng: \(A\left(3a+16;a\right)\Rightarrow\overrightarrow{DA}=...\Rightarrow\left|\overrightarrow{DA}\right|=DE\)

\(\Rightarrow a\Rightarrow\) tọa độ A

\(\Rightarrow\) Phương trình AC (qua A và D)

\(\Rightarrow\) Phương trình AB (qua A và vuông góc AC)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]