Question

[Hoa Thân]

Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC, người ta lấy tương ứng ba điểm M,N,P sao cho \(\frac{MA}{MB}=\frac{NB}{NC}=\frac{CP}{PA}=k\).

     a) Chứng minh rằng: \(\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)

     b) Biết diện tích tam giác ABC bằng S, hãy tính diện tích S' của tam giác MNP theo k và S

     c) Tìm k để \(S'=\frac{7}{16}S\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

A B C M N P

a) Ta có \(\frac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\frac{S_{AMP}}{S_{ABP}}.\frac{S_{ABP}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{k}{k+1}.\frac{1}{k+1}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)

b) Hoàn toàn tương tự như câu a, ta có:

\(\frac{S_{MNB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{NCP}}{S_{ABC}}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow S_{MNP}=S_{ABC}-S_{MAP}-S_{MBN}-S_{PNC}\)

\(=S-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}.S=\frac{k^2-k+1}{\left(k+1\right)^2}.S\)

c) Để \(S'=\frac{7}{16}S\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{\left(k+1\right)^2}=\frac{7}{16}\)

\(\Rightarrow16k^2-16k+16=7k^2+14k+7\)

\(\Rightarrow9k^2-30k+9=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}k=3\\k=\frac{1}{3}\end{cases}}\)