Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
. \(y^2=x^2+12x+1998\Leftrightarrow y^2=\left(x+6\right)^2+1962\Leftrightarrow y^2-\left(x+6\right)^2=1962.\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x-6\right)\left(y+x+6\right)=1962.\) Phải phân tích số 1962 thành tích của hai số. Phân tích 1962 thành tích các thừa số nguyên tố : 1962 = 2.3.3.109. Chia trường hợp để xét, đưa về giải hệ hai phương trình 2 ẩn x, y.
- Trường hợp 1: \(\hept{\begin{cases}y-x-6=1\\y+x+6=1962\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y-x=7\\y+x=1956\end{cases}\Rightarrow}x,y\notin Z}\)
- Trường hợp 2: \(\hept{\begin{cases}y-x-6=2\\y+x+6=981\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y-x=8\\y+x=975\end{cases}\Rightarrow}x,y\notin Z.}\)
- Trường hợp 3: \(\hept{\begin{cases}y-x-6=6\\y+x+6=327\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y-x=12\\y+x=321\end{cases}\Rightarrow}x,y\notin Z.}\)
...... Tiếp tục xét ta thấy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn phương trình trên.
Ta có \(\left(12-x\right)\left(12-y\right)\left(12-z\right)\le\frac{\left(36-x-y-z\right)^3}{27}\)
=> \(xyz\le\frac{\left(36-x-y-z\right)^6}{27^2}\)
Mà \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
=> \(xyz\le\frac{\left(36-3\sqrt[3]{xyz}\right)^6}{27^2}\)
<=>\(\sqrt[6]{xyz}\le12-\sqrt[3]{xyz}\)
<=> \(\sqrt[6]{xyz}\le3\)
=> \(xyz\le729\)
Vậy Max xyz=729 khi x=y=z=9
a/ Đặt \(x^2+x+1=a\Rightarrow x^2+x+2=a+1\)
Pt trở thành \(a\left(a+1\right)-12=0\Leftrightarrow a^2+a-12=0\)
\(\Leftrightarrow a^2-3a+4a-12=0\Leftrightarrow a\left(a-3\right)+4\left(a-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-3\right)\left(a+4\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x+1=3\\x^2+x+1=-4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x-2=0\\x^2+x+5=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\\\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{19}{4}=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
2/ \(\dfrac{x+1}{2014}+1+\dfrac{x+2}{2013}+1=\dfrac{x+3}{2012}+1+\dfrac{x+4}{2011}+1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2015}{2014}+\dfrac{x+2015}{2013}=\dfrac{x+2015}{2012}+\dfrac{x+2015}{2011}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2015\right)\left(\dfrac{1}{2014}+\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2012}-\dfrac{1}{2011}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+2015=0\) (do \(\dfrac{1}{2014}+\dfrac{1}{2013}-\dfrac{1}{2012}-\dfrac{1}{2011}\ne0\))
\(\Rightarrow x=-2015\)
\(\Leftrightarrow x^y+y^x+x^3+y^3+1+3\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)=x^3+y^3+1+z\)
\(\Leftrightarrow x^y+y^x+3\left(x+y\right)\left(y+1\right)\left(x+1\right)=z\)
Do \(VT>3\Rightarrow z>3\Rightarrow z\) lẻ đồng thời z không chia hết cho 3
Nếu \(x;y\) đều lẻ hoặc đều chẵn \(\Rightarrow VT\) chẵn (không thỏa mãn)
\(\Rightarrow\) x và y có đúng 1 số chẵn, do vai trò của x; y như nhau, giả sử y chẵn \(\Rightarrow y=2\)
\(\Rightarrow x^2+2^x+9\left(x+2\right)\left(x+1\right)=z\)
- Nếu \(x>3\Rightarrow x^2\) chia 3 dư 1, đồng thời do x lẻ \(\Rightarrow x=2k+1\)
\(\Rightarrow2^x=2^{2k+1}=2.4^k\) chia 3 dư 2
\(\Rightarrow x^2+2^x\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow VT\) chia hết cho 3 (không thỏa mãn)
\(\Rightarrow x\le3\Rightarrow x=3\Rightarrow z=197\) (thỏa mãn)
Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;197\right)\)
b) chia cả 2 vế cho xyz>0 ta được: \(\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}=3\)
không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\ge1\). Ta có:
\(3=\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}+\frac{9}{xyz}\le\frac{15}{z^3}\Rightarrow z^3\le5\Rightarrow z=1\)
\(z=1\Rightarrow2x+2y+11=3xyz\Rightarrow3=\frac{2}{y}+\frac{2}{x}+\frac{1}{xy}\le\frac{15}{y^2}\Rightarrow y^2\le5\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y^2=1\\y^2=4\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1;x=1\\y=2;x=\frac{15}{4}\end{cases}}}\)
ĐCĐK và kết luận
Vậy (1;1;13);(13;1;1);(1;13;1)