LT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
25 tháng 7 2019
Câu hỏi của Nguyễn Thái Hà - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo nhé!
CC
25 tháng 7 2019
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+...+\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)
\(=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\)(1)
+ Vì \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1-\frac{1}{n}\)
Nên S > n - 1 - ( 1 - 1/n) = n - 2 + 1/n > n - 2 ( vì 1/n > 0) (2)
Từ (1),(2) => n - 2 < S < n - 1 mà n \(\in\)N, n \(\ge\)2 => đpcm
26 tháng 2 2022
Xét hạng tổng quát:
\(\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{n-n+1}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)
Áp dụng vào bài, ta có:
\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\)
\(=\left(\sqrt{2}-1\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(=\sqrt{n}-1\)
PT
0
8 tháng 4 2018
Ta có :
\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)
\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)
\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)
\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)
Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên :
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)
Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có :
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\)
\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(n-2< S< n-1\)
Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên
Vậy \(S\) không là số tự nhiên
Chúc bạn học tốt ~
S = \(\left(n+1\right).\left[\left(n-1\right):1+1\right]:2\)
= \(\left(n+1\right)n:2\)
Cảm ƠN BẠN NHA