Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)
\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}\ge\dfrac{y^3}{\dfrac{y^2+1-y^2}{2}}=2y^3\)
\(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}\ge\dfrac{z^3}{\dfrac{z^2+1-z^2}{2}}=2z^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)
Ta có \(1\sqrt{x-2}\le\frac{1+x-2}{2}=\frac{x-1}{2}\)
\(1\sqrt{y+2009}\le\frac{1+y+2009}{2}=\frac{y+2010}{2}\)
\(1\sqrt{z-2010}\le\frac{1+z-2010}{2}=\frac{z-2009}{2}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(1\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}\)
\(\le\)\(\frac{x+y+z}{2}\)
Đấu = xảy ra khi x = 3; y = - 2008; z = 2011
Áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số thực không âm ta có:
\(x\sqrt{1-y^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}\)
\(y\sqrt{1-z^2}\le\frac{y^2+1-z^2}{2}\)
\(z\sqrt{1-x^2}\le\frac{z^2+1-x^2}{2}\)
=>\(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\le\frac{x^2+1-y^2}{2}+\frac{y^2+1-z^2}{2}+\frac{z^2+1-x^2}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=1-y^2;y^2=1-z^2;z^2=1-x^2\)
Cộng vế với vế của các đẳng thức với nhau ta được: \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x^2=3-\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
<=>\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)(đpcm)
a) ĐK: \(x\ge2;y\ge-2009;z\ge2010\)
Ta có: \(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+2009}+\sqrt{z-2010}=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
<=> \(2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+2009}+2\sqrt{z-2010}=x+y+z\)
<=> \(\left(x-2+2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y+2009-2\sqrt{y+2009}+1\right)\)
\(+\left(z-2010-2\sqrt{z-2010}+1\right)=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2009}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2010}+1\right)^2=0\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}-1=0\\\sqrt{y+2009}-1=0\\\sqrt{z-2010}-1=0\end{matrix}\right.\) => \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y+2009}=1\\\sqrt{z-2010}=1\end{matrix}\right.\)
<=> \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=1\\y+2009=1\\z-2010=1\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-2008\\z=2011\end{matrix}\right.\) (TM)
Vậy ...................................................