Question

[Đặng Công Minh Nghĩa]

Tìm tất cả số nguyên a,b,c thỏa mãn: \(a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1\) (do \(a+b+c=1\)) 

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\) (1)

Mặt khác:

\(a+b+c=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các bộ hoán vị của chúng

Answer 2

[Mei Shine]

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)\(=1\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-a\right)^2+\left(a-c\right)^2=2\)

Vì a, b, c nguyên nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=1\\\left(c-a\right)^2=1\end{matrix}\right.\) và các hoán vị của nó

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\\left[{}\begin{matrix}b-c=1\\b-c=-1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c-a=1\\c-a=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\\left[{}\begin{matrix}b=1+c\\b=-1+c\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c=1+a\\c=-1+a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Thay vô \(a+b+c=1\) để tìm a, b, c

(Chú ý lúc kết luận, ghi các nghiệm vừa tìm được và viết thêm cụm "và các hoán vị của nó")