Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Minh Nguyễn Cao - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
Không mất tính tổng quát.
g/s : \(x\ge y\ge z\)\(\ge1\)
Theo bài ra ta có: \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)
=> \(\left(xy^2z+yz+xy+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)
=> tồn tại số nguyên dương k sao cho: \(xy+yz+zx+1=k.xyz\)
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=k\)
=> \(k\le1+1+1+1=4\)(1)
TH1: k = 4 khi đó dấu "=" của bất đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 ( tm)
TH2: k=3
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=3\)
=>\(3\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^3}\)
=> \(3\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=2\)
=> \(2\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=1
Với z=1; y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x=2\)
Vậy x=2, y=z=1 ( thử vào thỏa mãn)
TH3: k=2
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{zyx}=2\)
=> \(2\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1\)
=> \(1\le\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=2 hoặc y=1
Với y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=0\left(loai\right)\)
Với y=2 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=3\)
Vậy x=3; y=2; z=1 ( thử vào thỏa mãn)
TH4: K=1
=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=1\)
=> \(1\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1 hoặc z=2 hoặc z=3
Với z=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=0\)loại
Với \(z=2\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{2}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2y^2}\)=> y=1 (loại), y=2 (loại ); y=3 => x=7 ; y=4 => x= 9/2(loại); y>5 loại
Với z =3 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3xy}=1\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3xy}=\frac{2}{3}\)
=> \(\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{3y^2}\)=> y=1 ( loại ), y=2 => x=7 (tm) , y=3 => x=10/3 (loại); y>4 ( loại)
TH này x=7; y=2; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn) hoặc x=7; y=3 ; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn)
Vậy: (x; y; z) là bộ ba số (1; 1; 1), (3; 2; 1); (2; 1;1 ) và các hoán vị của chúng
Ps: Cầu một cách ngắn gọn hơn! Thanks
\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (2) cộng (3) ta được
\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)
Lấy (1) - (4) ta được
\(2x\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z
1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)
Đến đây thì dễ rồi nhé
\(\left(1\right)\Leftrightarrow z=x-y+1\)
Thế vào (2)\(xy+\left(x^2+y^2-2xy+2x-2y+1\right)-7\left(x-y+1\right)+10=0\)
\(x^2+y^2-xy-5x+5y+4\Leftrightarrow-xy-5\left(x-y\right)+21=0\left(3\right)\\ \)
\(\left(x-y\right)^2=17-2xy\Rightarrow-xy=\frac{\left(x-y\right)^2-17}{2}\) (4)đặt (x-y)=t
\(\left(3\right)\Leftrightarrow\frac{t^2-17}{2}-5t+21=0\Leftrightarrow t^2-10t+25\Rightarrow t=5\)
(1)=> z=6
(4) => xy=-4 hệ \(\left\{\begin{matrix}x-y=5\\xy=-4\end{matrix}\right.\)=> (y+5)y=y^2+5y+4=0=>\(\left\{\begin{matrix}y=-1\\y=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x=4\\x=1\end{matrix}\right.\)
Kết luận:
(x,y,z)=(1,-4,6);(4,-1,6)