Question

[Khiêm Nguyễn Gia]

Tìm \(n\inℕ^∗\) sao cho \(n^4+n^3+1\) là số chính phương.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:
Để $n^4+n^3+1$ là scp $\Leftrightarrow A=4n^4+4n^3+4$ cũng phải là scp

Xét $A-(2n^2+n+1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n+1)^2=-5n^2-2n+3\leq -5-2n+3=-2-2n<0$ với mọi $n\geq 1$

$\Rightarrow A< (2n^2+n+1)^2(1)$

Xét $A-(2n^2+n-1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n-1)^2=3n^2+2n+3>0$ với mọi $n\geq 1$

$\Rightarrow A> (2n^2+n-1)^2(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow (2n^2+n-1)^2< A< (2n^2+n+1)^2$
$\Rightarrow A=(2n^2+n)^2$
$\Rightarrow (4n^4+4n^3+4)=(2n^2+n)^2$
$\Leftrightarrow 4-n^2=0$

$\Rightarrow n=2$