Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tập xác định : \(D=R\backslash\left\{-m\right\}\)
Ta có : \(y=x+\frac{1}{x+m}\Rightarrow y'=1-\frac{1}{\left(x+m\right)^2}\Rightarrow y"=\frac{2}{\left(x+m\right)^3}\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\Leftrightarrow\begin{cases}y'\left(1\right)=0\\y"\left(1\right)>0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}1-\frac{1}{\left(x+m\right)^2}=0\\\frac{2}{\left(x+m\right)^3}>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m=0\\m>-1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m=0\)
Vậy m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tạo x = 1
TXD D=R
y'=3x^2-2mx+m-2/3.
nếu hs đạt cực tiểu tại x=1 thì y'(1)=0
<=>3-2m+m-2/3=0<=>m=7/3
khi m=7/3 thì y'=3x^2-14/3x+5/3=0 y''=6x-14/3
ta có y'=0<=>x=1 hoặc x=5/9 =>y''(1)=6-14/3=4/3 >0
vậy tại m=7/3 là điểm cực tiểu tại x=1
Ta có : \(y"=6mx+6\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=2\Leftrightarrow\begin{cases}y'\left(2\right)=0\\y"\left(2\right)< 0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}12m+24=0\\12m+6< 0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow m=-2\)
\(y'=3mx^2+6x+12\)
Để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 thì \(y'\left(2\right)=0\Leftrightarrow m=-2\)
Với \(m=-2\) ta có \(y'=3\left(-2x^2+2x+4\right)\)
Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x=2\)
\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)\)
Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì x =1 phải là nghiệm của y'=0.
=> \(3.1^2-2m.1+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\)
Khi đó ta có:
\(y=x^3-\dfrac{7}{3}x^2+\dfrac{5}{3}x+5\)
\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(9x^2-14x+5\right)\)
\(y'\) có 2 nghiệm là \(1\) và \(\dfrac{5}{9}\).
\(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1 nên tại x = 1 thì hàm số đạt cực tiểu.
Giá trị cực tiểu tại x = 1 là:
\(y\left(1\right)=1^3-\dfrac{7}{3}.1^2+\dfrac{5}{3}.1+5=\dfrac{16}{3}\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=x^2-2mx+m=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m\in D=\left(-\infty,0\right)\cup\left(1,+\infty\right)\) (*)
Với điều kiện này thì \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\). Theo định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=2m;x_1x_2=m\) Suy ra :
\(\left|x_1-x_2\right|\ge8\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|^2\ge64\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge64\Leftrightarrow4m^2-4m\ge64\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-16\ge0\Leftrightarrow m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\) (thỏa mãn (*))
Vậy để \(\left|x_1-x_2\right|\ge8\) thì \(m\in\left(-\infty,\frac{1-\sqrt{65}}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt{65}}{2},+\infty\right)\)
Lời giải:
Để hàm số đã cho cho đạt cực trị tại 2 điểm $x_1,x_2$ thì PT $y'=x^2-2mx+m^2+m-1=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi \(\Delta'=m^2-(m^2+m-1)=1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)
Áp dụng định lý Vi-et: \(x_1+x_2=2m\)
Để $|x_1+x_2|=4\Leftrightarrw |2m|=4\Leftrightarrow m=\pm 2$
Kết hợp với ĐK $m< 1$ suy ra $m=-2$
Tập xác định :
Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 ⇔ m2 + 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3
- Với m = -1, ta có :
x=0 hoặc x=2.
Ta có bảng biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x = 2.
- Với m = -3, ta có:
x=2 hoặc x=4
Ta có bản biến thiên :
Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
Do \(f'\left(x\right)=x^2-2mx-1=0\)
Có \(\Delta'=m^2+1>0\) nên\(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) và hàm số đạt cực trị tại \(x_1,x_2\) với các điểm \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :
\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-m\right)f'\left(x\right)-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
Do \(f'\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=0\) nên
\(y_1=f\left(x_1\right)=-\frac{2}{3}\left(m^1+1\right)x_1+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
\(y_2=f\left(x_2\right)=-\frac{2}{3}\left(m^2+1\right)x_2+\left(\frac{2}{3}m+1\right)\)
Ta có \(AB^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=\left(x_2-x_1\right)^2+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\left(x_2-x_1\right)^2\)
\(=\left[\left(x_2-x_1\right)^2-4x_2x_1\right]\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\)
\(=\left(4m^2+4\right)\left[1+\frac{4}{9}\left(m^2+1\right)^2\right]\ge4\left(1+\frac{4}{9}\right)\)
\(\Rightarrow AB\ge\frac{2\sqrt{13}}{3}\)
Vậy Min \(AB=\frac{2\sqrt{13}}{3}\) xảy ra <=> m=0
TXD X khác -m
y'=x^2 +2mx+m^2-1
nếu hs đạt CĐ tại x=2 thì y'(2)=0
<=>m^2 +4m+3=0 nên m=-1 hoặc -3
khi m=-1 thi y'=x^2+2x nên y'=0 thì x=o hoặc x=2
y''=2x+2=>y''(2)=6>0 =>m=-1 khon phải điểm cực đại
khi m=-3
khi m=-1 thi y'=x^2-6x+8 nên y'=0 thì x=4 hoặc x=2
y''=2x-6=>y''(2)=-2>0 =>m=-3 điểm cực đại tại x=2
tim txd => tinh y' =>y'' => thay 2 vao y' va y''<=>y'(2)=o va y''(2)<0 => tim dc m