Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Có \(\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+m\sqrt{x+2\sqrt{x-9}-8}=x+\frac{3m+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(\sqrt{x-9}+3)^2}+m\sqrt{(\sqrt{x-9}+1)^2}=x+\frac{3m+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-9}+3+m(\sqrt{x-9}+1)=x+\frac{3m+1}{2}\)
\(\sqrt{x-9}(m+1)=x+\frac{3m+1}{2}-m-3\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{x-9}(m+1)=x+\frac{m-5}{2}\)
Đặt \(\sqrt{x-9}=t\) . Ta cần tìm m sao cho PT có hai nghiệm \(t_1,t_2| 0\leq t_1< 1< t_2\)
BPT tương đương:
\(t(m+1)=t^2+9+\frac{m-5}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2t^2-2t(m+1)+(m+13)=0\)
Để PT có hai nghiệm thì; \(\Delta'=(m+1)^2-2(m+13)>0\)
\(\Leftrightarrow m^2-25>0\Leftrightarrow m>5\) hoặc \(m< -5\) (1)
Khi đó áp dụng hệ thức Viete:
\(\left\{\begin{matrix} t_1+t_2=m+1\\ t_1t_2=\frac{m+13}{2}\end{matrix}\right.\)
Để hai nghiệm thỏa mãn \(0\leq t_1< 1< t_2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} t_1t_2\geq 0\\ (t_1-1)(t_2-1)< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq -13\\ t_1t_2-(t_1+t_2)+1< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq -13\\ \frac{m+13}{2}-(m+1)+1< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\geq -13\\ \frac{13-m}{2}< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m> 13\) (2)
Kết hợp (1); (2) suy ra $m\geq 13$
a) Ta có: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}=x^2+1+\dfrac{1}{x^2+1}-1\)\(\ge2\sqrt{\left(x^2+1\right).\dfrac{1}{x^2+1}}-1=2-1=1\).
Vì vậy: \(x^2+\dfrac{1}{x^2+1}\ge1\) nên BPT vô nghiệm.
b) Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt{x^2-x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-x+1}}\ge\)\(2\sqrt{\left(x^2-x+1\right).\dfrac{1}{x^2-x+1}}=2\).
Vì vậy BPT vô nghiệm.
a. R / \(\left\{-2\right\}\)
b. R / \(\left\{4;-1\right\}\)
c. R ( mẫu luôn > 0 )
d. \(\left(2;+\infty\right)\)
e. \(\left(-\infty;\dfrac{5}{6}\right)\)
f. \(\left(2;+\infty\right)\)
g. \(\left(1;3\right)\)
h. \(\left(5;+\infty\right)\)
i. \(\left(1;+\infty\right)\)
k. \(\left(-\infty;2\right)\)
l. R/\(\left\{\pm3\right\}\)
m. \(\left(-2;+\infty\right)/\left\{3\right\}\)
a/ \(M=\left[\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}-\left(\sqrt{x}+2\right)\right].\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}\)
\(=\dfrac{-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}.\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{2}=\sqrt{x}-x\)
b/ Chứng minh
\(\sqrt{x}-x\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x-4\sqrt{x}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\) (đúng)
a, ĐKXĐ: \(x\ge3\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x-3}\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}=0\\x-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(tm\right)\\x=1\left(l\right)\\x=2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=3\)
b, ĐKXĐ: \(x\ge-1\)
\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x+1}\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=0\\x+1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
c, ĐKXĐ: \(x>2\)
\(pt\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{x-2}}=\frac{3-x}{\sqrt{x-2}}\)
\(\Leftrightarrow x=3-x\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\left(l\right)\)
\(\Rightarrow\) Phương trình vô số nghiệm
d, ĐKXĐ: \(x>-1\)
\(pt\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{\sqrt{x+1}}=\frac{x+3+x+1}{\sqrt{x+1}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-4=2x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=-2\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=4\)
a) đk \(\left\{{}\begin{matrix}2x+1\ge0\\x\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-\dfrac{1}{2}\\x\ne0\end{matrix}\right.\)
b) đk \(x+3>0\Leftrightarrow x>-3\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>1\\x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>1\)
d) đk \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-4\ne0\\x+1\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x\ne\pm2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\x\ne2\end{matrix}\right.\)
điều kiện xát định \(x\ge0\)
ta có : \(\left(\sqrt{x}+1\right).P=\sqrt{x}+m\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+1\right).\dfrac{x}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+m\)
\(\Leftrightarrow x=\sqrt{x}+m\) \(\Leftrightarrow m=x-\sqrt{x}\) với \(x\ge0\)
ĐKXĐ: \(x>1\)
- Với \(m=0\) thỏa mãn
- Với \(m\ne0\)
\(\Rightarrow m^2\left(x-1\right)+m=x\)
\(\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)x=m^2-m\) (1)
Pt đã cho vô nghiệm khi:
TH1: (1) vô nghiệm \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1=0\\m^2-m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=-1\)
TH2: (1) có nghiệm thỏa mãn \(x\le1\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\x=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\dfrac{m}{m+1}-1\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\dfrac{1}{m+1}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>-1\)
Vậy pt vô nghiệm khi \(m\ge-1\)