Question

[Dương Thanh Ngân]

Tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\sqrt{x^2+2x+1}+2\sqrt{x^2-6x+9}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có:

$P=\sqrt{x^2+2x+1}+2\sqrt{x^2-6x+9}$

$=\sqrt{(x+1)^2}+2\sqrt{(x-3)^2}$

$=|x+1|+2|x-3|$

Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

$|x+1|+|x-3|=|x+1|+|3-x|\geq |x+1+3-x|=4$

$|x-3|\geq 0$ theo tính chất trị tuyệt đối

$\Rightarrow P\geq 4$

Vậy GTNN của $P$ là $4$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x+1)(3-x)\geq 0\\ x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3\)