KN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
VT
10 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT svacxơ, ta có
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Dấu = xảy ra <=>x=y=1/2
^_^
6 tháng 11 2018
ĐKXĐ \(x,y\ge0\)
Ta có \(x^3+y^3+xy-x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-1=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=1\)
Mà x,y\(\ge0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}0\le\sqrt{x}\le1\\0\le\sqrt{y}\le1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le1+\sqrt{x}\le2\\\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2+\sqrt{y}}\ge\frac{1}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1\ge P\ge\frac{1}{3}\)
Nhận thấy p\(=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)(thỏa mãn)
Nhận thấy P\(=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)(thỏa mãn)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\le1\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x\le1\\y\ge0\end{cases}}\end{cases}}\)
Lời giải:
$A=x^3+y^3+xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+xy$
$=1-3xy+xy=1-2xy=(x+y)^2-2xy=x^2+y^2$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x^2+\frac{1}{4}\geq x$
$y^2+\frac{1}{4}\geq y$
$\Rightarrow A=x^2+y^2\geq x+y-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$
Giá trị này đạt tại $x=y=\frac{1}{2}$