Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)
TH1. nếu \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x\right|\ge\left|x+0\right|=\left|x\right|\\\left|y\right|\ge\left|0+y\right|=\left|y\right|\end{matrix}\right.\) hiển nhiên đúng
TH2.với x, y khác 0
x.y>0 nghĩa là x, y cùng dấu
\(\left|x+y\right|=\left|-x-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\)
x.y<0 nghĩa là x, y trái dấu
\(\left|x+y\right|=\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\)
Nếu \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\)(1)
Nếu \(\left|x\right|\le\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|y\right|-\left|x\right|\)(2)
hiển nhiển \(\left|x\right|+\left|y\right|\) luôn lơn hơn (1) và (2)
TH1 và TH2 => dpcm
b) x,y,z,t có vai trò như nhau đối VT =>
không mất tính tổng quát g/s: \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\ge\left|z\right|\ge\left|t\right|\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\\\left|y-z\right|=\left|y\right|-\left|z\right|\\\left|z-t\right|=\left|z\right|-\left|t\right|\\\left|t-x\right|=\left|x\right|-\left|t\right|\end{matrix}\right.\)
Cộng lại
VT =\(2\left(\left|x\right|-\left|t\right|\right)\) vậy VT luôn là một số chẵn VP là số lẻ => vô nghiệm
\(\sqrt{\left(2x-\sqrt{16}\right)^2}+\left(y^2.64\right)^2+lx+y+zl=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x-4}+8y^4+lx+y+zl=0\)
\(\sqrt{2x-4};8y^4;lx+y+zl\ge0\)mà \(\sqrt{2x-4}+8y^4+lx+y+zl=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{2x-4}=8y^4=lx+y+zl=0\)
=>2x-4=y4=lx+y+zl=0
=>x=2;y=0;z=-2
Vậy x=2;y=0;z=-2
Ta có: \(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{y-x+x-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)\(=\dfrac{y-x}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{x-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\) \(=\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{x-y}\)
Tương tự:
\(\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}\)
\(\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}=\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\) \(=\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-z}+\dfrac{2}{z-x}\) \(\left(đpcm\right)\)
Hầy mình không nghĩ lớp 7 đã phải làm những bài biến đổi như thế này. Cái này phù hợp với lớp 8-9 hơn.
1.
Đặt $x^2-y^2=a; y^2-z^2=b; z^2-x^2=c$.
Khi đó: $a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$
$\text{VT}=a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3$
$=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x^2-y^2)(y^2-z^2)(z^2-x^2)$
$=3(x-y)(x+y)(y-z)(y+z)(z-x)(z+x)$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(x+z)$
$=3.4(x-y)(y-z)(z-x)=12(x-y)(y-z)(z-x)$
Ta có đpcm.
Bài 2:
Áp dụng kết quả của bài 1:
Mẫu:
$(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3=3(x-y)(y-z)(z-x)(x+y)(y+z)(z+x)=3(x-y)(y-z)(z-x)(1)$
Tử:
Đặt $x-y=a; y-z=b; z-x=c$ thì $a+b+c=0$
$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=a^3+b^3+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=3abc$
$=3(x-y)(y-z)(z-x)(2)$
Từ $(1);(2)$ suy ra \(\frac{(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}{(x^2-y^2)^3+(y^2-z^2)^3+(z^2-x^2)^3}=1\)
\(1)\)
\(VT=\left(\left|x-6\right|+\left|2022-x\right|\right)+\left|x-10\right|+\left|y-2014\right|+\left|z-2015\right|\)
\(\ge\left|x-6+2022-x\right|+\left|0\right|+\left|0\right|+\left|0\right|=2016\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-6\right)\left(2022-x\right)\ge0\left(1\right)\\x-10=y-2014=z-2015=0\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=10\\y=2014\\z=2015\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\)
TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-6\ge0\\2022-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge6\\x\le2022\end{cases}\Leftrightarrow}6\le x\le2022}\) ( nhận )
TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-6\le0\\2022-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le6\\x\ge2022\end{cases}}}\) ( loại )
Vậy \(x=10\)\(;\)\(y=2014\) và \(z=2015\)
\(2)\)
\(VT=\left|x-5\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x-5+1-x\right|=\left|-4\right|=4\)
\(VP=\frac{12}{\left|y+1\right|+3}\le\frac{12}{3}=4\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge VP\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\left(x-5\right)\left(1-x\right)\ge0\left(1\right)\\\left|y+1\right|=0\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\)
TH1 : \(\hept{\begin{cases}x-5\ge0\\1-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge5\\x\le1\end{cases}}}\) ( loại )
TH2 : \(\hept{\begin{cases}x-5\le0\\1-x\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le5\\x\ge1\end{cases}\Leftrightarrow}1\le x\le5}\) ( nhận )
\(\left(2\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(y=-1\)
Vậy \(1\le x\le5\) và \(y=-1\)
Ta có: x(x+y)+y(x+y)=36+64
=>(x+y)(x+y)=100
=>(x+y)2=102=(-10)2
Với x+y=10, ta có:
x.(x+y)=36
=>x.10=36
=>x=36:10=3,6
y(x+y)=64
=>y.10=64
=>y=64:10=6,4
Với x+y=-10, ta có:
x(x+y)=36
=>x.(-10)=36
=>x=36:(-10)=-3,6
y(x+y)=64
=>y.(-10)=64
=>y=64:(-10)=-6,4
Vậy (x;y) thuộc {(3,6;6,4);(-3,6;-6,4)}