Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a(a−x)2+b(b−x)2 (1)
=(a+b)x2−2x(a2+b2)+a3+b3
+) a+b=0⇒pt(1)có một nghiệm⇒|a|=|b|
+) a+b≠0
Xét Δ'=a4+2a2b2+b4−a4−ab3−a3b−b4
=2a2b2−ab3−a3b=ab(a−b)2
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : Δ'=0⇒a−b=0⇒|a|=|b|
Thực hiện khai triển , PT đã cho tương đương với
\(\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+\left(a^3+b^3\right)=0\left(^∗\right)\)
Nếu \(a+b=0\) thì
\(a^2+b^2\ne0\) với mọi a , b \(\ne0\) . PT (*) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2\left(a^2+b^2\right)}\) ( thỏa mãn yêu cầu )
\(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(1\right)\)
Nếu \(a+b\ne0\)
PT (*) là PT bậc 2 ẩn x có nghiệm duy nhất khi mà
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2-ab^3-a^3b=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
Vì \(a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Chúc bạn học tốt !!!
Theo đề bài ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=-\frac{ab}{2}\)
Ta lại có
\(x^2+ax+b=0\) có \(\Delta_1=a^2+4b\)
\(x^2+bx+a=0\) có \(\Delta_2=b^2+4a\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+4b+b^2+4a=a^2+b^2+4\left(a+b\right)\)
\(=a^2+b^2+4\left(\frac{-ab}{2}\right)=a^2+b^2-2ab\)
\(=\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) Có ít nhất 1 trong hai \(\Delta_1,\Delta_2\) không âm
Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm hay phương trình ban đầu luôn có nghiệm
a)
\(x^2-2\left(m+1\right)x+4m-m^2=0\)
Ta có : (a = 1 ; b = 2(m+1) ; b' = m + 1 ; c = 4m-m2 )
\(\Delta'=b'^2-ac\)
= \(\left(m+1\right)^2-1.\left(4m-m^2\right)\)
= m2 + 2m + 1 -4m +m2
= 2m2 -2m + 1
= 2 ( m-1)2 > 0 (phuong trinh luon co 2 nghien pb \(\forall m\)
a) có \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m+m^2\)
\(=m^2+2m+1-4m+m^2\)
\(=2m^2-2m+1\)
\(=2\left(m^2-2.\frac{1}{2}m+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\right)\)
\(=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0\forall m\)
\(\Rightarrow pt\) trên luôn có 2 nghiệm pb \(\forall m\)
b) ta có vi - ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=4m-m^2\end{cases}}\)
theo bài ra \(A=\left|x_1-x_2\right|\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left(x_1-x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow A^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow A^2=4m^2+8m+4+4m^2-16m\)
\(\Leftrightarrow A^2=8m^2-8m+4\)
\(\Leftrightarrow A^2=8\left(m^2-m+\frac{1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow A^2=8\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+2\ge2\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
vậy MIN A^2 = \(2\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)
2/ \(a\left(x-a\right)^2+b\left(x-b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)x^2-2\left(a^2+b^2\right)x+a^3+b^3=0\)
Với a = - b thì x = 0
Với a \(\ne\) - b thì ta có
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ta có ĐPCM
mk giải tắt thôi, k bt có đúng k nữa
\(a\left(a-x\right)^2+b\left(b-x\right)^2\left(1\right)\)
\(=\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+a^3+b^3\)
+) \(a+b=0\Rightarrow pt\left(1\right)\)có một nghiệm\(\Rightarrow|a|=|b|\)
+) \(a+b\ne0\)
Xét \(\Delta'=a^4+2a^2b^2+b^4-a^4-ab^3-a^3b-b^4\)
\(=2a^2b^2-ab^3-a^3b=ab\left(a-b\right)^2\)
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : \(\Delta'=0\Rightarrow a-b=0\Rightarrow|a|=|b|\)
~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~